Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


toanhocorg

Đăng ký: 25-06-2020
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Chủ đề của tôi gửi

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz

28-06-2020 - 20:14

Một trong những dạng toán cực quan trọng đó là tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng. Tuy nhiên, nhiều em không biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng  trong không gian được xác định như thế nào và được tính như thế nào, công thức ra sao ? Tất cả các vấn đề trên sẽ được giải quyết trong bài viết này.

 

 

kho%E1%BA%A3ng-c%C3%A1ch-gi%E1%BB%AFa-2-

Cơ sở lý thuyết

Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz+D = 0

 

Mặt phẳng (Q)//(P) và có phương trình (Q): Ax + By + Cz + E = 0

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q). Ta thấy điểm $H\left( 0;0;\frac{-D}{C} \right)\in (P)$ suy ra:

$d\left( (P);(Q) \right)=d\left( H;(Q) \right)=\frac{\left| C.\frac{-D}{C}+E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\frac{\left| D-E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

\[d\left( {(P);(Q)} \right) = \frac{{\left| {D - E} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Bài tập minh họa 

Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 6=0 và (Q): x + 2y - 2z + 3=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 1.

B. 3.

C. 9.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm $A(0;0; - 3) \in (P)$

$ \Rightarrow d\left( {(P);(Q)} \right) = d\left( {A;(Q)} \right) = \frac{{\left| {0 + 2.0 - 2( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3.$

 

Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x + y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 3z + 5 = 0.$ Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

 
A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$
 
B. $d = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
 
C. $d = 2\sqrt {11} .$
 
D. $d=11.$
 
Hướng dẫn giải
Chọn $M( – 1;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d = d((P);(Q))$ $ = \frac{{| – 1 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.
 
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$
 
A. $R=6.$
 
B. $R=2.$
 
C. $R=1.$
 
D. $R=3.$
Hướng dẫn giải
 
Do $(P)//(Q)$ $ \Rightarrow R = \frac{1}{2}d((P);(Q))$ $ = \frac{1}{2}.\frac{{|1 – 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1.$
 
Chọn đáp án C.
 
Nhận xét: Mọi mặt cầu $(S)$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R = \frac{1}{2}d((P);(Q)).$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

26-06-2020 - 17:17

Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian được tính như thế nào? Các bạn đang cần bài tập tự luyện dạng này? Có những cách nào để tính và cách nào nhanh hơn, phù hợp với thi trắc nghiệm hơn. Những vấn đề trên sẽ được giới thiệu trong bài viết dưới đây.

kho%E1%BA%A3ng-c%C3%A1ch-gi%E1%BB%AFa-2-

1. Định nghĩa
Đường thẳng Δ vừa cắt vừa vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau a và b gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
 
Giả sử Δ cắt a và b lần lượt tại M và N. Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
 
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b
 
Trong trường hợp tổng quát, ta thực hiện dựng như sau:
  • Dựng mặt phẳng α chứa b thoả α song song với a,
  • Tìm hình chiếu vuông góc a' của a trên α,
  • Tìm giao điểm N của a' và b, dựng đường thẳng Δ qua N và vuông góc với α cắt a tại M. Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
Nhận xét:Nếu lấy điểm I tuỳ ý trên a thì khoảng cách từ I đến α bằng độ dài đoạn vuông góc chung MN (vì theo hình vẽ MNHI là hình chữ nhật). Từ đó rút ra phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần dựng đoạn vuông góc chung của chúng như dưới đây.
 
Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
  • Chọn mặt phẳng α chứa b và song song với a,
  • Chọn một điểm I phù hợp trên a rồi tính khoảng cách từ I đến α.
Nhận xét.
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng chứa đường thẳng kia song song với đường thẳng còn lại.
Trong trường hợp đặc biệt a và b chéo nhau và vuông góc với nhau, khi đó thường tồn tại một mặt phẳng α chứa a và vuông góc với b. Để tính khoảng cách giữa a và b ta dựng đoạn vuông góc chung như sau:
  • Tìm giao điểm H của b và α,
  • Trong α, vẽ HK vuông góc với a tại H. khi đó HK là đoạn vuông góc chung.
2. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
  • Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$.
  • Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng α chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))$
  • Phương pháp 3: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
  • Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD}  = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong $\left( \alpha  \right)$ có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha  \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH}  \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH}  \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\\H \in \left( \alpha  \right)\end{array} \right.$

Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

25-06-2020 - 09:45

Trong không gian Oxy, việc tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nói chung là dễ hơn khi không có trục tọa độ. Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxy ta sử dụng 1 công thức khá hay, bài viết này sẽ viết chi tiết và kèm ví dụ

 

Giả sử trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C=0 là \[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{\big|Ax_0+By_0+C\big|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

kho%E1%BA%A3ng-c%C3%A1ch-t%E1%BB%AB-m%E1

Bài tập 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính khoảng cách từ điểm M(3;-2) đến đường thẳng Δ: x + 7y + 1=0.
 
Hướng dẫn giải
\(\text{d}(M, \Delta)=\dfrac{|3+7.(-2)+1|}{\sqrt{1+49}}=\dfrac{|-10|}{\sqrt{50}}=\sqrt{2}.\)
 
Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là \(M(4;2)\) và phương trình một đường chéo là \(\Delta: x+2y+2=0.\)
 
Hướng dẫn giải
 Thế toạ độ điểm \(M\) vào đường thẳng \(\Delta\) ta thấy không thoả mãn. Do đó \(\Delta\) là đường chéo không đi qua \(M\). Gọi \(H\) là tâm hình vuông thì
\(MH=\text{d}(M,\Delta)=\dfrac{|4+4+2|}{\sqrt{1+4}}=2\sqrt{5}.\)
Độ dài đường chéo hình vuông là \(4\sqrt{5}.\)
Cạnh hình vuông là \(a=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}.\)
Diện tích hình vuông là \(S=a^2=40.\)
Chú ý. Cạnh hình vuông = đường chéo chia cho \(\sqrt{2}.\)