Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Pi9

Đăng ký: 25-06-2020
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 18:38
-----

#736945 Đề thi tuyển sinh chuyên toán Lương Thế Vinh - Đồng Nai (2019-20)

Gửi bởi Pi9 trong 07-07-2020 - 04:33

Câu 2.1:

Theo Viete: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2702 & \\x_{1}x_{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Xét 

+) $(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})^2=x_{1}+x_{2}+2\sqrt{x_{1}x_{2}}=2703$ $\Rightarrow \sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{2703}$

+) $(\sqrt[3]{x_{1}}+\sqrt[3]{x_{2}})^3=x_{1}+x_{2}+3\sqrt[3]{x_{1}x_{2}}(\sqrt[3]{x_{1}}+\sqrt[3]{x_{2}})=2702+3(\sqrt[3]{x_{1}}+\sqrt[3]{x_{2}})$

Đặt $\sqrt[3]{x_{1}}+\sqrt[3]{x_{2}}=a$, giải pt $a^3-3a-2702=0$ ta được $a=14$

Khi đó: $M=14+\sqrt{2703}$




#736933 $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2} \geq 2(ab+bc+ca)$

Gửi bởi Pi9 trong 06-07-2020 - 20:11

Cho $a,b,c \in [1,2]$, chứng minh $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2} \geq 2(ab+bc+ca)$




#736906 CMR I thuộc đường trung bình ứng với cạnh AC của $\Delta ABC$.

Gửi bởi Pi9 trong 06-07-2020 - 05:41

c) Gọi HG là đường trung bình ứng với AC của tam giác ABC ( $H \in AB$, $G \in BC$ ), DE giao HG tại I', BI' cắt AC tại K.

Ta sẽ chứng minh $I\equiv I'$, thật vậy:

Tam giác BKC có I'G // KC, G là trung điểm của BC $\rightarrow$ I' là trung điểm của BK

Dễ chứng minh EF // BK nên theo bổ đề hình thang trong hình thang EFBK ta có A, M, I' thẳng hàng hay AM cắt DE tại I'. 

Theo giả thiết thì AM cắt DE tại I, do đó $I \equiv I'$, ta có đpcm.

 

 

 

 




#736905 $x+4=\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}$

Gửi bởi Pi9 trong 06-07-2020 - 05:09

ĐKXĐ: $x \geq 0$

$x+4=\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}$

$\Leftrightarrow x^2+8x+16=x+4(x+3)+4\sqrt{x^2+3x}$

$\Leftrightarrow x^2+3x+4-4\sqrt{x^2+3x}=0$

$\Leftrightarrow a^2-4a+4=0$

$\Leftrightarrow a=2 \Leftrightarrow \sqrt{x^2+3x}=2 \Leftrightarrow x=1$




#736904 Đề thi vào Toán chuyên Trần Hưng Đạo Bình Thuận năm học 2020 - 2021

Gửi bởi Pi9 trong 06-07-2020 - 04:47

Bài 2b:

 

Đặt $2p+1=a^3$ ( $a \in N^{*}$ )

$\Leftrightarrow 2p=(a-1)(a^2+a+1)$

Do $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:

TH1: $\left\{\begin{matrix} a-1=p & \\a^2+a+1=2 & \end{matrix}\right.$ ( loại vì $a \in N^{*}$ )

TH2: $\left\{\begin{matrix} a-1=2 & \\a^2+a+1=p & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & \\p=13 & \end{matrix}\right.$ ( thỏa )

TH3: $\left\{\begin{matrix} a-1=1 & \\a^2+a+1=2p & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & \\p=\frac{7}{2} & \end{matrix}\right.$ ( loại )

TH4: $\left\{\begin{matrix} a-1=2p & \\a^2+a+1=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a,p \in \varnothing$

Vậy $p=13$ là giá trị cần tìm.




#736899 $ x^2 + xy+1 = 4y -y^2 ............ (x^2+1)(x+y-2)=y $

Gửi bởi Pi9 trong 05-07-2020 - 22:22

$ (x^2+1)(x+y-2)=y $
$ x^2 + xy+1 = 4y -y^2 $

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+1)(x+y-2)=y & \\ x^2+xy+1=4y-y^2 & \end{matrix}\right.$

+) Xét $y=0 \rightarrow x^2+1=0$ ( loại )

+) Xét $y$ khác $0$:

hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2+1)(x+y-2)=y & \\ x^2+1+y(x+y)=4y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2+1}{y}.(x+y-2)=1 & \\\frac{x^2+1}{y}+x+y-2=2 & \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{x^2+1}{y}=a; x+y-2=b$

hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1 & \\a+b=2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a=b=1 \Leftrightarrow \frac{x^2+1}{y}=x+y-2=1\Leftrightarrow (x;y)=(1;2);(-2;5)$ 




#736829 Chứng minh $\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(...

Gửi bởi Pi9 trong 03-07-2020 - 19:07

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$

Chứng minh $\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{3}{2}$




#736827 [TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ...

Gửi bởi Pi9 trong 03-07-2020 - 18:33

Mình xin góp thêm bài nữa
Bài 221: cho đường trong (O) , đường kính AB,CD vuông góc. Lấy M thuộc cung nhỏ BC,AM giao OC tại P, DM giao AB tại E, AM giao BC tại Q.Hạ PL vuông góc BC tại L,EK vuông góc BC tại K. PK giao EL tại H.CE giao EM tại I.IH giao DM tại F. C/m : HI=HF
P/s: dạo này thấy topic hình khá trầm nhỉ

Là sao bạn nhỉ ? 




#736806 Tìm GTNN của P = $\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}$+$\frac{4...

Gửi bởi Pi9 trong 03-07-2020 - 05:42

Bài này Tách ra xong AM-GM vài dòng là ok

Rõ hơn về cách nói mơ hồ này...

 

Cho x, y >0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}$+$\frac{4x^{2}y^{2}+1}{xy}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy:

$P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+4xy+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{2}{3xy}+4xy \geq \frac{4}{x^2+y^2+4xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{12xy}$

$\geq \frac{4}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}+2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}+\frac{5}{3(x+y)^2}=\frac{19}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$




#736788 Tìm $x \in \mathbb{N}$ để $A=5^x+12^x$ là số ch...

Gửi bởi Pi9 trong 02-07-2020 - 18:07

Tìm $x \in \mathbb{N}$ để $A=5^x+12^x$ là số chính phương.




#736786 Giải hệ phương trình $y(\sqrt{x+6}-y)=6-\sqrt{6(y^2-x)}$

Gửi bởi Pi9 trong 02-07-2020 - 16:44

$\left\{\begin{matrix} y(\sqrt{x+6}-y)=6-\sqrt{6(y^2-x)} & \\2+x+\sqrt{x(y^2-10)+3}=\sqrt[3]{x^2(y^2-1)+16x+5} & \end{matrix}\right.$




#736728 Tìm GTNN của $M = \left ( \frac{xy}{x^{2}+ y^{2}}+1 \righ...

Gửi bởi Pi9 trong 01-07-2020 - 04:42

Cách 2:

Đặt $\frac{xy}{x^2+y^2}=a \rightarrow a \leq \frac{1}{2}$

Khi đó $M=(a+1)(\frac{1}{a}+1)=a+\frac{1}{a}+2=a+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4a}+2\geq 2\sqrt{\frac{a}{4a}}+\frac{3}{4.\frac{1}{2}}+2=\frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=y$




#736722 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH $ \boxed{\t...

Gửi bởi Pi9 trong 30-06-2020 - 21:36

Giải hệ phương trình sau :
Bài 62: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4(1-2x^2)=y^2 & \\ 1+\sqrt{1+(x-y)^2}=x^3(x^3-x+2y)& \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Cộng chéo 2 vế của 2 phương trình ta được:

$$\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4(1-2x^2)+x^3(x^3-x+2y)=y^2+1+\sqrt{1+(x-y)^2}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(3-x^2y)(x^2y+1)}=y^2+1+\sqrt{1+(x-y)^2}+x^6-2x^3y$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(3-x^2y)(x^2y+1)}=(x^3-y)^2+\sqrt{1+(x-y)^2}+1$$

$VT=\sqrt{(3-x^2y)(x^2y+1)} \leq \frac{3-x^2+x^2y+1}{2}=2$

$VP \geq 0+1+1=2$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2y=1 & \\x=y & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=1$




#736713 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH $ \boxed{\t...

Gửi bởi Pi9 trong 30-06-2020 - 21:01

Giải hệ phương trình sau :
Bài 61 : $\left\{\begin{matrix} 1+xy+\sqrt{xy}=x & \\ \frac{1}{x\sqrt{x}}+y\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y} & \end{matrix}\right.$
 

Lời giải: 

ĐKXĐ: $x, y \geq 0$

Đặt $\sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b$ ( $a > 0, b \geq 0$ )

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+a^2b^2+ab=a^2 & \\\frac{1}{a^3}+b^3=\frac{1}{a}+3b & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a^2}+b^2+\frac{b}{a}=1 (1) & \\ (\frac{1}{a}+b) (\frac{1}{a^2}-\frac{b}{a}+b^2-1)=2b (2) & \end{matrix}\right.$

Thay (1) và (2) ta được: 

$$(\frac{1}{a}+b). \frac{-2b}{a}=2b$$

$$\Leftrightarrow \frac{2b(1+ab)}{a^2}+2b=0$$

$$\Leftrightarrow 2b.(\frac{1+ab}{a^2}+1)=0$$

$$\Leftrightarrow b=0$$

$$\Leftrightarrow (x;y)=(1;0)$$




#736700 Chứng minh: G là trung điểm của EF

Gửi bởi Pi9 trong 30-06-2020 - 16:30

Có $\Delta HMI \sim \Delta IMK$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{MHI}=\widehat{MIK} & \\\widehat{MIH}=\widehat{MKI} & \end{matrix}\right.$

Từ đó xét tứ giác $MEIF$ có $\widehat{EMF}+\widehat{EIF}=\widehat{EMF}+\widehat{MIH}+\widehat{MIK}=\widehat{EMF}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=180^0$

$\rightarrow MEIF$ nội tiếp $\rightarrow \widehat{MEG}=\widehat{MIK}=\widehat{MHE} \rightarrow GE$ là tiếp tuyến của $(O_{1})$

$\rightarrow EG^2=GM.GN$

Tương tự ta cũng có $GF$ là tiếp tuyến của $(O_{2}) \rightarrow GF^2=GM.GN$

$\rightarrow EG=GF \rightarrow G$ là trung điểm của $EF$

Gọi $MN$ cắt $BC$ tại $J$

Vì $MEIF$ nội tiếp nên suy ra $EF//BC$

Áp dụng bổ đề hình thang vào hình thang $EFCB$ ta có $J$ là trung điểm của $BC$ cố định $\rightarrow J$ cố định

Do đó $MN$ đi qua điểm cố định là trung điểm của $BC$.

 

https://imgur.com/a/Sy8rfs3