truongphat266

Bài 1. Tìm tất cả hàm $f$ sao cho $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ và thỏa: 

$$f\left(\frac{y}{f(x)}\right) + x = f(xy) + f(f(x))$$

Cho tập hợp gồm $2n$ số tự nhiên đầu tiên, hỏi có bao nhiêu tập con (tính cả tập rỗng) của tập đó sao cho không có $2$ phần tử nào trong tập con đó cách nhau đúng $2$ đơn vị.

Ưu tiên cách đếm truy hồi ạ.

Cho tập hợp gồm $2n$ số tự nhiên đầu tiên, hỏi có bao nhiêu tập con (tính cả tập rỗng) của tập đó sao cho không có $2$ phần tử nào trong tập con đó cách nhau đúng $2$ đơn vị.

Ưu tiên cách đếm truy hồi ạ.

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 $$(3-a-bc)(3-b-ca)(3-c-ab)\geq 1;$$

$$(3-ab-bc)(3-bc-ca)(3-ca-ab) \geq 1;$$

$$\sum_{cyc}\frac{1+a}{1+ab+ca} \geq 2;$$

$$\sum_{cyc}\frac{ab}{1+a+bc} \geq 1.$$

Cho $a_1<a_2<\cdots$ là dãy các số nguyên dương tăng vô hạn. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $l$ thì luôn tồn tại $i \neq j$ với $1 \leq i,j $ thỏa mãn $a_i + a_j$ có một ước nguyên tố lớn hơn $l$.