acbd

Cho $a,b,m,n$ là các số dương ($m,n\in \mathbb{Z}+$) 

Chứng minh rằng: $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+a^{n}b^{m}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 

$(a^m-b^m)(a^n-b^n)\geq 0$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh vế trái luôn đúng với điều kiện của đề bài.

Có 3 trường hợp: 0 < a < b, a = b > 0, a > b > 0

* Trường hợp 1: 0 < a < b

Do m, n nguyên dương nên suy ra $a^m < b^m$, $a^n<b^n$

$\Rightarrow a^m-b^m<0, a^n-b^n<0$

$\Rightarrow (a^m-b^m)(a^n-b^n)>0$

* Tương tự với 2 trường hợp còn lại.