WannaBeMe

Bất đẳng thức này có dạng mở rộng:

Cho $n \geq 2$ số $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq ... \leq a_{n}$. Ta có

$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{a_{i + 1}} \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$

(với quy ước $i_{n+1} = i_{1}$)

Có thể chứng minh bằng quy nạp.

Không biết bất đẳng thức này có tên không nhỉ?

Bài này đã được giải ở đây rồi nè bạn https://diendantoanh...x12y5-endcases/

Ta có:
$x^2+2023x-2024=\left | x \right | + \left | x + 1 \right | + \left | x + 2\right | + ... + \left | x + 2023\right |$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+2024)=\left | x \right | + \left | x + 1 \right | + \left | x + 2\right | + ... + \left | x + 2023\right |$

Vì $VP > 0$ nên $VT > 0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x > 1 \\ x < - 2024 \end{bmatrix}$

Trường hợp $x > 1$:

$\Rightarrow \begin{Bmatrix} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ ... \\ x + 2023 > 0 \end{Bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \left | x \right | = x \\ \left | x + 1 \right | = x + 1 \\ ... \\ \left | x + 2023 \right | = x + 2023\end{Bmatrix}$

Ta có phương trình tương đương:

$x^2+2023x-2024=2024x+2047276$

Tới đây giải phương trình bậc hai, đối chiếu kết quả với điều kiện $x > 1$.

Giải tương tự với trường hợp $x < -2024$.

Để phương trình có 2 nghiệm:
$\Delta' \geq 0 \Rightarrow (m+1)^2 - 4m \geq 0 \Rightarrow (m-1)^2 \geq 0$ (luôn đúng với mọi $m$)

Tới đây có thể giải theo công thức nghiệm (vì $\Delta'$ đẹp) hoặc có thể làm thế này:

Vì vai trò $x_{1}, x_{2}$ như nhau, giả sử $x_{1} = 2x_{2}$.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta được:

$\begin{Bmatrix} x_{1}+x_{2}=2(m+1) \\ x_{1}x_{2}=4m \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{Bmatrix} 3x_{2}=2m+2 \\ {2x_{2}}^{2}=4m \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{Bmatrix} x_{2}=\frac{2m+2}{3} \\ {x_{2}}^{2}=2m \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{Bmatrix} {x_{2}}^{2}=\frac{(2m+2)^2}{9} \\ {x_{2}}^{2}=2m \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \frac{(2m+2)^2}{9} = 2m$

Tới đây giải $m$ ta được $m \in \left \{ \frac{1}{2}, 2 \right \}$.

Vậy với $m \in \left \{ \frac{1}{2}, 2 \right \}$ thì thỏa đề.

Ta có:
$\left (\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right )\ + 4 \geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )\ $

$\Leftrightarrow {\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ }^{2} + 2 \geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )\ $

Đặt $t = \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ $ (mà áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta được $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ \geq 2 \Rightarrow t \geq 2$), bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$t^2+2\geq 3t$

$\Leftrightarrow (t-1)(t-2) \geq 0$ (luôn đúng vì $t \geq 2$)

Vậy ta có điều phải chứng minh.