Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Mr handsome ugly

Đăng ký: 11-08-2020
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:07
*****

#742087 Tìm các số n nguyên dương sao cho $x^{n}+4$ khả quy trên...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 14-01-2021 - 13:38

Tìm tất cả các số n nguyên dương sao cho $x^{n}+4$ khả quy trên vành số nguyên 

Tổng quát: tìm n nguyên dương cho $x^{n}+k^{2}$ khả quy trên vành số nguyên




#741896 [TOPIC] Số học và ứng dụng

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 04-01-2021 - 21:24

Bài 4 :Cho đa thức P $\in \mathbb{Z}[x]$ ; chứng minh rằng luôn tồn tại số hữu tỷ $k_{i}$ sao cho P(x) =G(x) +$k_{i}a_{i}x^{n-i}$ với G(x) là đa thức khả quy trên vành số nguyên ( i là số tự nhiên;$n\geq i\geq 0$ biết n là bậc của đa thức P(x)

P/S: bữa mình có ghi thiếu đề  :( phần G(x) khả quy trên vành số nguyên các bạn cho mình xin lỗi nha( sao chưa có ai giải nhỉ  :D )




#741894 Tìm tất cả các hàm f :$\mathbb{R}\rightarrow \m...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 04-01-2021 - 19:41

Tìm tất cả các hàm f :$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $2f(x)=f(x^{2})$ với x là số thực 

Tổng quát hóa lên thành $nf(x)=f(x^{n})$




#741876 Chọn hệ số của P(x)

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 03-01-2021 - 21:49

Xét $P(x)=x^{6}+a_{1}x^{5}+a_{2}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{2}+a_{5}x+$$x_{6}$

Chọn hệ số của P(x) để $\left\{\begin{matrix} P(x)=x^{6}\cdot P(\frac{1}{x})\\ P(x)=P(1-x) \end{matrix}\right.$

Cái in đỏ là  hệ số hay ẩn vậy bạn 




#741875 Chọn hệ số của P(x)

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 03-01-2021 - 21:48

Xét $P(x)=x^{6}+a_{1}x^{5}+a_{2}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{2}+a_{5}x+$$x_{6}$

Chọn hệ số của P(x) để $\left\{\begin{matrix} P(x)=x^{6}\cdot P(\frac{1}{x})\\ P(x)=P(1-x) \end{matrix}\right.$

Nếu dòng in đỏ trên là ẩn "x" thì bạn lần lượt chọn x=1;-1;0;2;$\frac{1}{2}$ thì thay vào điều kiện sẽ nhân được $P(0)=P(1)=P(-1)=P(2)=P(\frac{1}{2})=0$ 

Từ đây thay vào P(x) thì được hệ 5 ẩn 




#741846 Liệu có tồn tại nhiều bộ số a;b sao cho $a^2+b^2=c$

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 02-01-2021 - 13:50

Cho a;b là số tự nhiên và c là số tự nhiên sao cho $a^{2}+b^{2}=c$. Liệu với mỗi số c cố định thì có tồn tại nhiều bộ số a;b cùng thỏa $a^{2}+b^{2}=c$ và c có đặc điểm như thế nào thì tồn tại nhiều bộ số a;b và c có tính chất gì thì chỉ tồn tại 1 bộ số a;b tự nhiên  duy nhất thỏa điều kiện trên 




#741805 Cho $x,y,z,u,v$ là các số nguyên dương thỏa mãn : $xyzuv=z+y+z...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 31-12-2020 - 16:09

Cho $x,y,z,u,v$ là các số nguyên dương thỏa mãn : $xyzuv=z+y+z+u+v$. Tìm GTLN của $max\left \{ x,y,z,u,v \right \}$

Gỉa sử $x\geq y\geq z\geq u\geq v\Rightarrow 5x\geq xyzuv\Leftrightarrow 5\geq yzuv\Leftrightarrow 5\geq v^{4}\Rightarrow v=1\Rightarrow xyzu=x+y+z+u+1\Rightarrow 4x+1\geq xyzu\Leftrightarrow x(4-yzu)\geq -1$

Xét nếu x>1 thì 4-yzu>-1 suy ra yzu<5 rồi xét các trường hợp giá trị của y;z;u trên tập nguyên dương để thỏa Đk trên 

Xét nếu x=1 mà $x\geq y\geq z\geq u\geq v$ suy ra x=y=z=u=v=1 

Suy ra ĐPCM




#741745 Chứng minh chỉ tồn tại $\varphi (d)$ số tự nhiên a ( a<n)...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 26-12-2020 - 17:56

Sau đậy là dự đoán của em; mọi người xem qua và cho ý kiến ạ: Cho n là một số tự nhiên; d là ước số của $\varphi (n)$ .Chứng minh chỉ tồn tại  $\varphi (d)$ số tự nhiên a ( a<n) thỏa $ord_{n}a=d$
Dự đoán trên được em tổng quát lên từ định lý sau : Cho p là một số nguyên tố ; d là ước số của p-1 thì  chỉ tồn tại $\varphi (d)$ số tự nhiên a ( a<n) thỏa $ord_{p}a=d$; ở  tài liệu bên dưới  em nhận thấy đã có chứng minh của định lý trên cho trường hợp $n=p^{k}$ và d=  $p^{k}$ với p là số nguyên tố

Em cũng xin gửi mọi người xem thử tài liệu này ( khá phổ biến) nhưng chưa được dịch qua tiếng việt : File gửi kèm  lecture8 (1).pdf   227.13K   6 Số lần tải




#741686 $$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \math...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 23-12-2020 - 21:01

 

Cho $P(x,y)$ đại diện cho $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy.$

Ta nhận thấy $f(x)=0$ không là nghiệm nên tồn tại $t\in\mathbb{R}$ sao cho $f(t)\neq0$.

Với $P(x+y,0)$ thì $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x+y)f(0)=(f(0)+1)f(x+y)$ nên $(f(0)+1)f(x+y)=f(x+y)+f(x)f(y)-xy$ hay $f(0)f(x+y)=f(x)f(y)-xy (*)$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$

Thay $y$ bởi $t$ vào $(*)$, ta có $f(x)=\frac{t}{f(t)}x$.

Đặt $k=\frac{t}{f(t)}$ (rõ ràng $k\neq0$). Khi đó, thay vào phương trình gốc, ta có: $k(k-1)(x+y-xy)=0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$.

Vì vậy, $k=1$ hay $f(x)=x)$.

Trường hợp 2: $f(0)\neq0$

Thay $x$ bởi $f(0)$, $y$ bởi $-f(0)$ vào $(*)$ thì $f(f(0))f(-f(0))=0$ nên tồn tại số thực $a\in\{f(0)),-f(0)\}$ sao cho $f(a)=0$.

Thay $x$ bởi $x-a$, $y$ bởi $a$ vào $(*)$ ta có $f(0)f(x)=-(x-a)a$ nên $f(x)=const$ và thay vào phương trình gốc, ta có điều vô lý.

Sau khi thử lại, ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

 

Bạn cho mình hỏi phần in đỏ sao bạn suy ra được vậy ( mình mới tiếp xúc với pt hàm nên hơi yếu mong bạn giải thích rõ hơn)




#741584 tìm số ngiệm nguyên dương của $ax+by=c$

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 17-12-2020 - 19:12

Cho a;b;c;x;y là các số nguyên dương thỏa $ax+by=c$ . Hỏi có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên dương (x;y) thỏa phương trình trên 




#741571 Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả: $(y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2$.

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 16-12-2020 - 13:46

Bài 1: đặt $3n^{2}+4=x^{2}\Leftrightarrow 3n^{2}=(x-2)(x+2)$

Ta nhận thấy (x-2;x+2)=4;1

nếu (x-2;x+2)=4

Xét trường hợp 1:$\Rightarrow x-2=12a^{2} ;x+2=4b^{2}\Rightarrow 4b^{2}-12a^{2}=4$ ( tới đây làm bình thường ) ( a;b là số tự nhiên)

Trường hợp 2 :$x+2=12a^{2} ;x-2=4b^{2}\Rightarrow 4b^{2}-12a^{2}=-4$ ( làm bình thường)

Nếu (x-2;x+2)=1

Tiếp tục xét trường hợp 1: $x-2=3a^{2};x+2=b^{2}\Rightarrow b^{2}-3a^{2}=4$ ( tới đây làm bình thường)

trường hợp 2: $x-2=a^{2};x+2=3b^{2} \Rightarrow 3b^{2}-a^{2}=4$  ( làm bình thường tiếp)

Sau khi giải ra thì thế các nghiệm vào kiểm tra là ra 




#741500 [TOPIC] Số học và ứng dụng

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 13-12-2020 - 21:41

Mình xin góp Bài 3:tìm các số $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ nguyên dương lớn hơn 1 sao cho $x_{1}x_{2}...x_{n}\mid x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$

P/S: bài này bạn nào làm được trường hợp nguyên thì làm luôn nha; mình chỉ có lời giải cho trường hợp nguyên dương thôi 




#741468 Tìm a;b sao cho $[\frac{a}{b}]\mid a$...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 12-12-2020 - 12:47

Tìm a;b nguyên dương  sao cho a không chia hết cho b (a>b) thỏa $[\frac{a}{b}]\mid a$

P/S: bài này em chế mà không có lời giải; không biết mọi người có ý kiến gì không 




#741404 Tìm lỗi sai trong bài chứng minh các số nguyên tố không có cùng căn nguyên thủy

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 08-12-2020 - 19:39

Trong số học có một định lý rất phổ biến như sau: những số có nhiều hơn 1 ước nguyên tố không thể có căn nguyên thủy; tuy nhiên em lại có chứng minh rằng tồn tại một số có nhiều hơn 1 ước nguyên tố có căn nguyên thủy.

Đầu tiên; ta chứng minh Bổ đề 1: với các số có dạng $p^{k}$ thì căn nguyên thủy của chúng cũng là căn nguyên thủy của p và $V_{p}(a^{p-1}-1)=1$

Ta có định lý lớn sau : nếu n nguyên dương có dạng  p^{k} thì n luôn có căn nguyên thủy 

Gọi a là căn nguyên thủy của $p^{k}$ $\Rightarrow p^{k}\mid a^{\varphi (p^{k})}-1\Leftrightarrow p^{k}\mid a^{p^{k-1}(p-1)}-1$

Theo LTE ; nếu $V_{p}(a^{p-1}-1)>1$ thì tồn tại f>1 nguyên dương  sao cho $p^{k}\mid a^{p^{k-f}(p-1)}-1$ suy ra $V_{p}(a^{p-1}-1)=1$

Nếu a không phải là căn nguyên thủy của p thì tồn tại t nguyên dương thỏa $p^{k}\mid a^{p^{k-1}t}-1$ ( mâu thuẫn) ; suy ra bổ đề 1 

Ta lại có Bổ đề 2 : với $a\equiv b( mod m )\Rightarrow ord_{m}a=ord_{m}b$ ; bổ đề này em xin không chứng minh do không có thời gian ( thông cảm cho em)

Quay lại bài toán; gọi số đó là n; $p_{i}$ là các ước nguyên tố của n $(1\leq i\leq m)$ và $r_{i}$ là căn nguyên thủy của các số nguyên tố tương ứng 

Áp dụng định lý lớn ở bổ đề 1 ; ta có luôn tồn tại $r_{i}$ là căn nguyên thủy của $p_{i}^{k_{i}}$ với $k_{i}$ là số mũ của thừa số nguyên tố  trong phân tích thừa số nguyên tố của n 

do  $p_{i}^{k_{i}}$ lần lượt đôi một nguyên tố cùng nhau nên theo định lý thăng dư Trung hoa thì hệ đồng dư $a\equiv r_{i}(p_{i}^{k_{i}})$

luôn tồn tại một nghiệm duy nhất   (đây là chổ em thấy không ổn nhất mọi người xem giúp em) 

Sử dụng bổ đề 2 thì ta có $ord_{p_{i}^{k_{i}}}a=ord_{p_{i}^{k_{i}}}r_{i}=p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)$

Tiếp tục sử dụng bổ đề 1 ta được $V_{p_{i}}(a^{p_{i}-1}-1)=1$

Suy ra  $n\mid a^{\prod_{i=1}^{m}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)}-1$

mà $V_{p_{i}}(a^{p_{i}}-1)=1$ nên không tồn tại f>1 nguyên dương sao cho $n\mid a^{\prod_{i=1}^{m}p_{i}^{k_{i}-f}(p_{i}-1)}$

Suy ra a là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{\varphi (n)}-1$




#741342 MỘT SỐ BỔ ĐỀ SỐ HỌC

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 04-12-2020 - 21:37

Mình xin dẫn lại và nêu ra vài hệ quả của các định lý lớn: một số nguyên dương sẽ chỉ có căn nguyên thủy nếu nó có các dạng 2;4;$p^{k};2p^{k}$

ở đây mình sẽ chỉ nói về dạng $p^{k}$ vì 2;4 không quá quan trọng còn $\varphi (2p^{k})=\varphi(p^{k})$ ( định lý này khá khó chứng minh , bản thân mình không đủ khả năng để hiểu được hết bài chứng minh mà chỉ biết sử dụng nó nên bài chứng minh mình sẽ dẫn pdf cuối bài) 

Gọi a là căn nguyên thủy của $p^{k}\Rightarrow p^{k}\mid a^{\varphi(p^{k})}-1\Rightarrow p^{k}\mid a^{p^{k-1}(p-1)}-1\Rightarrow p^{k}\mid (a^{p-1})^{p^{k-1}}-1$ ; ở đây theo LTE ta nhận thấy nếu a muốn là cắn nguyên thủy của $p^{k}$ thì bắt buộc $V_{p}(a^{p-1}-1)=1$ ; nếu $V_{p}(a^{p-1}-1)\geq 2$ thì số nhỏ nhất có thể chia hết cho p là $p^{k}\mid (a^{p-1})^{p^{k-f}}-1$ ( $f\geq 2$) từ đó dẫn đến a không còn là căn nguyên thủy của $p^{k}$

Từ đây ta có các phát biểu như sau: với mọi số nguyên tố luôn tồn tại a sao cho $V_{p}(a^{p-1}-1)=1$

Và các số nguyên tố khác nhau không thể có cùng căn nguyên thủy trong đó với tất cả số nguyên tố $V_{p}(a^{p_{i}-1}-1)=1$ với $p_{i}$ là một số nguyên tố bất kì cho trước 

Minh cũng xin dẫn lại pdf của anh Phạm Hy Hiếu về căn nguyên thủy ( khó dã man)

file:///C:/Users/pc/Downloads/ord_and_primitive_root%20(14).pdf ( các bạn copy đường link vào google là ra ; do mình không biết dẫn file mọi người thông cảm )

mình có một nghịch lý ở câu này mong mọi người giải đáp ; nếu như có sai sót gì thì sửa giúp mình : 

Ở trên mình đã chứng minh được rằng các số nguyên tố khác nhau không có cùng một căn thủy sao cho $V_{p_{i}}(a^{p_{i}-1}-1)=1$ với $p_{i}$ lần lượt là các số nguyên tố khác nhau 

Tuy nhiên nếu mình gọi n là số nguyên dương bất kì có 2 ước nguyên tố trở lên ; rồi phân tích  ra thừa số nguyên tố $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{m}^{k_{m}}$ với p là các ước nguyên tố của n 

Ta lại biết rằng mọi số có dạng $p^{k}$ đều có căn nguyên thủy 

Vậy giờ ta gọi $r_{i}$ là căn nguyên thủy của $p_{i}^{k_{i}}$ 

Giả sử tồn tại a sao cho $r_{i}=a(mod p_{i}^{k_{i}})$ mà $r_{i}$ lại là căn nguyên thủy nên suy ra a cũng là căn nguyên thủy 

Theo đinh lý thặng dư trung hoa thì hệ đồng dư này luôn tồn tại một nghiệm duy nhất mod n ( ở đây p là các số nguyên tố nên đôi một nguyên tố cùng nhau nhờ đó ta sử dụng ĐL trung hoa )

P/S: Tới đây mình rối lắm rồi không biết có sai chỗ nào không mong mọi người sửa giúp gấp mình do còn nhiều cái mình định đăng liên quan chặt chẽ tới phần này :((