mocchuan

a) Do $KA,KD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $KA^2=KA.KD=KB.KC$ 

Lại có $\widehat{EBD}=\widehat{ACD}$ ( do $ABDC$ nội tiếp )

Nên $\Delta BDE \sim \Delta CDF\Rightarrow BD.FD=DC.DE$

 

b)Trước hết ta đi chứng minh $M,E,F$ thẳng hàng 

Ta có $\widehat{BDE}=\widehat{CDF}$ ( từ  $\Delta BDE \sim \Delta CDF)

Mà $BMDE,CDMF$ nội tiếp nên $\widehat{BME}=\widehat{FMC}$

Hay $M,E,F$ thẳng hàng 

Mặt khác , từ $\widehat{EMD}=\widehat{EBD}=\widehat{ACD}, \widehat{MED}=\widehat{MBD}=\widehat{CAD}$ ta có $\Delta MED \sim \Delta CAD$

Suy ra $ME=\frac{MD.CA}{CD}$

Tương tự $MF=\frac{AB.MD}{BD}$

Vậy để $M$ là trung điểm $EF$ thì $ABDC$ phải là tứ giác điều hòa 

Mà do $KA,KD,BC$ cắt nhau tại $K$ nên $ABDC$ là tứ giác điều hòa hay ta có đpcm.

Exactly