thvn

Từ điều kiện bài toán suy ra y lẻ, đặt y = 2k + 1

Thay vào và rút gọn ta được: $k(k + 1) = 11x^{2}$

Vì (k, k + 1) = 1 nên có 2 khả năng:

* $k = 11a^{2}, k + 1 = b^{2}$ với (a, b) = 1 và (b, 11) = 1. Khi đó $2y + 2 = 4(k + 1) = 4b^{2}$ là số chính phương

* $k = a^{2}, k + 1 = 11b^{2}$ với (a, b) = 1 và (a, 11) = 1. Suy ra $a^{2} + 1 = 11b^{2}$. Dễ dàng chỉ ra không thể xảy ra khả năng này bằng cách xét tính chẵn lẻ của a, b và mod 4.

Bài toán được chứng minh.

Giải hệ phương trình:

 

Bạn làm rõ hơn về việc cộng vế và dùng tính đồng biến để giải được không nhỉ?

Mình bỏ cũng lâu nên có thể không update các cách mới!

 

Với riêng mình thì ngay từ đầu có thể thấy ngay $x,y,z$ cùng dấu. 

 

TH1: $x,y,z$ không âm thì có thể giả sử $x\geq y\geq z\geq 0$. 

TH này không khó, có thể xử lý dễ dàng.

 

TH2: $x,y,z$ đều âm. Đến đây nếu xử lý như trên có vẻ không suôn sẻ. 

 

Chúng ta chuyển về dạng này thôi mà:

$\left\{\begin{matrix} 2x+2y=y^3 + y^2+ 2y& & \\2y+2z=z^3 +z^2+2z& & \\ 2z+2x=x^3 + x^2+ 2x& & \end{matrix}\right.$

Dạng này các bạn dùng tính đồng biến của hàm số: f(x) = $x^{3}+x^{2}+2x$ (Học sinh cấp 2 thì xét hiệu, cấp 3 thì dùng đạo hàm)

Từ đó suy ra x = y = z thôi mà.

Tôi nghĩ là bạn đặt $x = \frac{a + b}{c}; y = \frac{b + c}{a}$ và $z = \frac{c + a}{b}$ rồi dùng Cauchy Schwarz dạng Engel là được.

Giờ các mạng xã hội như zalo, facebook...phát triển mạnh quá. Nhưng forum vẫn có chỗ đứng riêng của nó, là nguồn tài nguyên để có thể tìm kiếm, lưu trữ rất có giá trị cho nhiều bạn yêu Toán hiện tại và cả sau này!