pro2kb

Lời giải:
G/s tam giác có 3 cạnh ${a}\geq{b}\geq{c}$
Gọi ${S}_{k}$ là số tam giác tm ${a}= {k}\in M$
Theo bđt tam giác:
${b}+{c}> {a}$
$\Rightarrow {a}+1\leq {b}+{c}\leq 2{b}\leq 2{a}$
$\Rightarrow \frac{{a}+1}{2}\leq {b}\leq {a} \quad (1) $
Và ${b}\geq{c}\geq {a}-{b}+1 \quad (2)$
Ta tính ${S}_{2k}$ và ${S}_{2k+1}$
+) Tính ${S}_{2k}$
Từ $(1)\Rightarrow {k}+1\leq {b}\leq 2{k}$
$\Rightarrow {b}\in \left \{ {k}+1;{k}+2;...;2{k} \right \}$
Từ $(2)\Rightarrow$ Số cách chọn $c$ là: ${b}-\left ( {a}-{b}+1 \right )+1=2{b}-{a}=2{b}-2{k}$
$\Rightarrow S_{2k}=\sum_{{b}={k}+1}^{2{k}}\left ( 2{b}-2{k} \right ) =2+4+...+2{k} ={k}\left ( {k}+1 \right )$
+)Tính ${S}_{2k+1}$
Làm tương tự$\Rightarrow{S}_{2k+1} = \left ( {k}+1 \right )^{2}$
$\Rightarrow {S}_{2k}+{S}_{2k+1}$
$= \sum_{k=0}^{1009}\left [ {k}\left ( {k}+1 \right )+\left ( {k}+1 \right )^{2} \right ]$
$= \left ( 1^{2}+2^{2}+...+1009^{2} \right )+\left ( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+1010^{2} \right )+(1+2+...+1009)$