vugiabao

1. $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^2$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
2. $\frac{a^3+b^3}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^3$, $\forall$$a,b\geq 0$
3. $a^3+b^3\geq ab(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
4. $a^4+b^4\geq ab(a^2+b^2)$, $\forall$$a,b\geq 0$
5. $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
6. $a^2+ab+b^2\geq \frac{3(a+b)^2}{4}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
7. $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$, $a^2+b^2\neq 0$
8. $(1+a)(1+b)\geq \left(1+\sqrt{ab} \right)^2$, $\forall$$a,b\geq 0$
9. $(1+a)(1+b)(1+c)\geq \left(1+\sqrt[3]{abc} \right)^3$, $\forall$$a,b,c\geq 0$
10. $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$, với $ab\geq1$
II. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Bài 1. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                        $P= \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}$
Bài 2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                        $A=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
Bài 3. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2}{\sqrt{8a^2+3b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{8b^2+3c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{8c^2+3a^2+14ca}}\leq \frac{a+b+c}{5}$
Bài 4. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Bài 5. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                       $C=\frac{1}{4a^2-bc+2}+\frac{1}{4b^2-ca+2}+\frac{1}{4c^2-ab+2}$
Bài 6. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $M=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}$
Bài 7. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3abc$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\geq 1$
Bài 8. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca$=5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $A=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+5}}+\frac{3z}{\sqrt{6(z^2+5)}}$
Bài 9. Cho $x,y,z\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\geq 2$
Bài 10. Cho $a,b,\in \mathbb{R^+}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $N=(a+b)\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}} \right)$