tienmai

Đầu tiên mình góp ý cách kí hiệu của bạn. $\Delta x_{n}$ được hiểu là $x_{n+1} - x_{n}$, còn $\Delta {x^{2}_{n}}$ được hiểu là ${x^{2}_{n+1}} - {x^{2}_{n}}$. Còn sai phân cấp hai (là sai phân của sai phân) được kí hiệu là $\Delta^{2} x_{n}$ và được xác định như sau

$$\begin{align*} \Delta^{2}(x_{n}) & = \Delta(\Delta(x_{n})) \\ & = \Delta(x_{n+1} - x_{n}) \\ & = \Delta(y_{n}) = y_{n+1} - y_{n} & \text{trong đó $y_{n} = x_{n+1} - x_{n}$} \\ & = (x_{n+2} - x_{n+1}) - (x_{n+1} - x_{n}) \\ & = \Delta x_{n+1} - \Delta x_{n} \end{align*}$$

Mình đã ghi chi tiết, thêm kí hiệu $y_{n}$ chỉ để tiện theo dõi chứ thực tế không ai làm như trên (trừ sách nhập môn về sai phân thì có thể). Lưu ý, sai phân của một dãy số cũng là một dãy số mà thôi.

 

Còn bây giờ mình trả lời tại sao "Nếu $\Delta^{2} x_{n}$ không đổi thì $x_{n}$ có dạng $an^{2} + bn + c$, trong đó $a, b, c$ là các hằng số."

 

Mình bắt đầu với mệnh đề đơn giản hơn

($\dagger$) "Nếu $\Delta x_{n}$ là hằng số thì $x_{n}$ có dạng $an + b$, trong đó $a, b$ là các hằng số" - Kí hiệu hằng số đó là $c$, nghĩa là $\Delta x_{n} = c$. Như vậy $x_{n+1} - x_{n} = c$ với mọi số nguyên dương $n$, và chúng ta có một dãy cấp số cộng, do đó $x_{n} = x_{1} + (n-1)c = cn + (x_{1} - c)$, chính là dạng $an + b$ (bạn có thể chứng minh lại $x_{n} = x_{1} + (n-1)c$ bằng quy nạp hoặc đọc sách giáo khoa giải tích 11).

 

Quay lại câu hỏi ban đầu.

Vì $\Delta^{2}x_{n} = \Delta(\Delta x_{n})$ là hằng số nên theo mệnh đề $\dagger$, $\Delta x_{n}$ có dạng $an + b$ (mấu chốt cho lập luận này là mệnh đề $\dagger$ và "sai phân của một dãy số cũng là một dãy số").

$\Delta x_{n} = x_{n+1} - x_{n} = an + b$ với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\begin{align*} x_{n} - x_{1} & = (x_{n} - x_{n-1}) + \cdots + (x_{2} - x_{1}) \\ & = (a\cdot (n-1) + b) + \cdots + (a\cdot 1 + b) \\ & = a\cdot ((n-1) + \cdots + 1) + bn \\ & = \frac{a}{2}\cdot n(n-1) + bn \\ & = \frac{a}{2}\cdot n^{2} + \left(b - \frac{a}{2} \right )n \end{align*}$$

(trên đây là cách mò ra công thức tổng quát (cộng các sai phân liên tiếp), còn để lập luận chặt chẽ thì cần nêu lập luận bằng quy nạp)

Do đó $x_{n} = \frac{a}{2}\cdot n^{2} + \left(b - \frac{a}{2}\right)n + x_{1}$ (lưu ý $x_{1}$ là hằng số) và đây chính là dạng $an^{2} + bn + c$.

 

Tổng quát hơn, nếu $\Delta^{k}x_{n}$ không đổi thì $x_{n}$ có dạng $a_{0} + a_{1}n + \cdots + a_{k}n^{k}$, trong đó $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$ là các hằng số.

 

 

Mình không có lời giải nhưng bình luận chút.
Bình thường ra, các bài tập tính giới hạn mà có giá trị lượng giác của số nguyên không khó đến thế này và có thể giải quyết bằng định lý kẹp. Nhưng có vẻ bài toán này không dễ giải quyết như vậy. Mình cảm thấy các bài toán có giá trị lượng giác của số nguyên có vẻ gì đó khá đáng ngại và hình như cần đến nhiều lý thuyết số hơn (liên tưởng đến định lý Niven).
Quay lại với bài toán ban đầu, mình tin là dãy này có giới hạn là $1$ và mình cũng tin là có thể sử dụng định lý kẹp, chỉ là không hề dễ dàng. Mình chú ý bài toán này ít hôm trước và có tra cứu Google với từ khóa "sine of integers", "cosine of integers", thấy có một kết quả khá ấn tượng trong bài báo "An Inequality Involving $\sin(n)$" rằng
\[ \left\vert\sin(n)\right\vert > \frac{1}{2^{n}} \]
Bất đẳng thức này được chứng minh kỳ công với các kết quả đến từ xấp xỉ Diophant và việc xấp xỉ Diophant cho số $\pi$. Mình có đọc ý tưởng lúc trước của Konstante và thấy khá hứa hẹn và cũng động đến xấp xỉ Diophant nhưng mà bạn lại không tiếp tục.
Mình cho rằng có thể có bất đẳng thức phù hợp để mà áp dụng vào bài toán này. Nếu như có một dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ sao cho $a_{n}\to 1$ và
\[ a_{n}\leq \sqrt[n]{{(\cos(n))}^{2}}\leq 1 \quad\forall n\in\mathbb{N} \]
thì có thể dùng định lý kẹp được. Vấn đề là tìm được một dãy như vậy và chứng minh được (khó vãi). Mình mạnh dạn đoán là có bất đẳng thức này
\[ \left\vert\cos(n)\right\vert > \frac{1}{2n^{\alpha}} \]
trong đó $\alpha$ là một số thực dương nào đó (mình còn đoán là $\alpha = 2$ thì được và có thử tính). Có lẽ xấp xỉ Diophantine là hướng đi hứa hẹn nhất, cho cả bất đẳng thức này lẫn bài toán tính giới hạn trong topic này.
Khi mà chưa giải được một bài toán thì gì nói cũng được mình thì nói thế này: không phải bài toán hay bài tập nào cũng có một lời giải đẹp hoặc lời giải ngắn gọn hoặc lời giải phù hợp với kiến thức của người đang cố giải nó.

Hai kí hiệu đó có ý nghĩa lần lượt là giao của $n$ tập hợp $A_{i}$ và hợp của $n$ tập hợp $A_{i}$.

$$\bigcap^{n}_{i=1} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}$$

$$\bigcup^{n}_{i=1} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}$$

Còn ví dụ, bạn có thể tìm đọc về định lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau. Định lý đó được phát biểu với kí hiệu trên như thế này.

Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}$ là khoảng đóng $[a_{n}, b_{n}]$. Nếu $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ với mọi số nguyên dương $n$ thì giao của tất cả các tập hợp $I_{n}$ khác rỗng. Bằng kí hiệu, chúng ta viết

$$\bigcap^{\infty}_{n=1} I_{n} = \bigcap^{\infty}_{n=1} [a_{n}, b_{n}] \ne \varnothing$$

 

Kí hiệu hợp và giao như vậy được áp dụng khi số lượng tập hợp trong phép hợp hay phép giao là nhiều (có thể vô hạn). Thêm ví dụ nhé.

Hợp của các tập hợp $A_{i}$, trong đó $i\in I$ được kí hiệu là $\bigcup_{i\in I} A_{i}$.

Giao của các tập hợp $A_{i}$, trong đó $i\in I$ được kí hiệu là $\bigcap_{i\in I} A_{i}$.

 

Bạn sẽ gặp kí hiệu như trên khi tìm đọc về luật De Morgan.

 

Việc giải thích tại sao kí hiệu như thế là không có ích gì về mặt toán học. Bạn tiếp tục tìm đọc để quen hơn với kí hiệu nhé.

 

 

Mình chưa có lời giải đẹp, chỉ có lời giải brute-force với sự hỗ trợ của máy tính.

Câu trả lời cho bài toán là: phương trình trên không có nghiệm nguyên. Chương trình được viết bằng Python sau đây giúp kiểm tra xem $f(x, y) = {(x + y)}^{3} + x^{3} + y^{3} + 3x^{2}y^{2} - 1$ có khi nào chia hết cho 9 không (thử tất cả các số dư có thể có khi chia $x$, $y$ cho 9)

Thật sự, mò ra được số 9 cũng là một may mắn.

def fn(x, y, mod):
    return (x ** 3 + y ** 3 + (x + y)**3 + 3 * x**2 * y**2 - 1) % mod

mod = 9
for i in range(0, mod):
    for j in range(0, mod):
        if fn(i, j, mod) == 0:
            print(f"(x,y) = ({i},{j})")

Một phân số có tử hoặc mẫu là số thập phân thì có được gọi là số hữu tỉ không ạ ( theo chương trình sách kết nối toán 7) 

 

Mình trả lời câu hỏi của bạn. Câu trả lời dưới đây dùng đến kiến thức mà bạn có lẽ chưa học đến (nhưng trong nội dung sách bạn nêu thì có nhé).

 

Đầu tiên mình nhắc lại định nghĩa.

 

Hai thuật ngữ cần được làm rõ ở đây là phân số và số hữu tỉ. Theo chương trình phổ thông hiện nay (mình đã ngó qua bộ sách lớp 6 tập 2 và lớp 7 tập 1), sách chỉ cho biết rằng kí hiệu $\frac{a}{b}$ biểu thị một phân số (trong đó $a, b$ là các số nguyên và $b\ne 0$). Trong đó số ở trên dấu gạch ngang là tử số, số ở dưới dấu gạch ngang là mẫu số. Còn số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số. Một bên là cái kí hiệu (phân số), còn một bên là số (số hữu tỉ).

 

Trả lời cho câu hỏi: Nếu tử số hoặc mẫu số là số thập phân (mình sẽ hiểu là tử số và mẫu số không phải số nguyên) thì đó có phải phân số không? (cái này khác câu hỏi của bạn chút)

 

Theo định nghĩa đó, nếu tử số hoặc mẫu số không phải số nguyên (chẳng hạn $0.5$, $1.4142$, $3.14$,...) thì "phân số" đó đã vi phạm định nghĩa rồi, tức là kí hiệu đó không hợp lệ. Túm lại, đó không phải phân số.

 

Để thuận tiện trả lời, mình gọi cái kí hiệu phân số mà ít nhất tử số hoặc mẫu số không phải số nguyên là một "phân số không hợp lệ".

 

Trả lời cho câu hỏi: Nếu tử số hoặc mẫu số là số thập phân (mình sẽ hiểu là tử số và mẫu số không phải số nguyên) thì đó có phải số hữu tỉ không? (cái này là câu hỏi của bạn)

 

Câu trả lời là lúc có, lúc không phải. Bởi vì

• (trường hợp có) Nếu tử số hoặc mẫu số là số có phần thập phân hữu hạn (chẳng hạn $0.57$ hay $2.0$), hoặc là số có phần thập phân vô hạn và tuần hoàn (chẳng hạn $\frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.(3)$) thì "phân số không hợp lệ" là số hữu tỉ. Ví dụ của bạn là $\frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$ là một số hữu tỉ.
• (trường hợp không phải, mình chỉ nêu ví dụ, chứ không bao hết mọi trường hợp) Nếu tử số là số có phần thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ, bạn sẽ học trong học kì 1 lớp 7 thôi), còn mẫu số là số nguyên thì "phân số không hợp lệ" không phải số hữu tỉ (và là số vô tỉ).