MinhAnhNguyen

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O). O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm của $(OBC), (OCA), (OAB). XYZ$ là tam giác Cevian của $O$ đối với $\Delta O_aO_bO_c. P$ là trực tâm $\Delta XYZ.$ Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita của $\Delta ABC.$  
Định nghĩa điểm Kosnita: https://vi.wikipedia...Định_lý_Kosnita

Ta đưa về mô hình tâm nội tiếp bởi vì $O_aO$ là phân giác góc $\angle O_bO_aO_c$

Đưa về bài toán sau:

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $AI,BI,CI$ giao $BC,AC,AB$ tại $X,Y,Z$. $G$ là trực tâm của $\Delta XYZ$. $O_a,O_b,O_c$ là điểm đối xứng của $I$ qua $BC,AC,AB$. Chứng minh $IG$ đi qua điểm đồng quy của $AO_a,BO_b,CO_c$

 

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$, điểm $P$ bất kỳ trong mặt phẳng. $AP,BP,CP$ giao $BC,AC,AB$ tại $D,E,F$. $Q$ bất kỳ trên mặt phẳng. $DQ,EQ,FQ$ giao $EF,FD,DE$ tại $D_1,E_1,F_1$. $PD_1,PE_1,PF_1$ giao $BC,AC,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh rằng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy trên $PQ$

 

Chứng minh:

Gọi các điểm như hình vẽ

Ta có $F(PI,AJ)=F(PX,C_1B_1)=P(FX,C_1B_1)=P(FX,YZ)$

Mà $F(PI,AJ)=F(CE,AB_1)=F(EC,B_1A)=P(EF,E_1D)=E(PF,E_1D)=E(PF,YF_1)=F(PE,YF_1)=F(PX,YZ$

Nên $X,Y,Z$ thẳng hàng

Dùng Desargue cho $\Delta QEF$ và $\Delta PC_1B_1$ nên $P,Q,G$ thẳng hàng

Áp dụng định lý Pappus cho bộ $(B,C_1,F)$ và bộ $(C,B_1,E)$ nên $P,H,G$ thẳng hàng

Suy ra $H,P,Q$ thẳng hàng

DPCM

 368114034_1069878864427730_7888921593160612058_n.png   60.63K   26 Số lần tải

 

 

Quay lại bài toán

Gọi $A_1,A_2,G_x$ là giao của $AO_a,AX,XG$ và $BC,YZ,YZ$

Theo hàng điểm có $YZ$ là phân giác $\angle AG_xI$

Và $A_1A_2$ vuông góc $BC$

Nên $\angle A_2G_xA_1=\angle A_2XA_1=\angle AG_xA_2=\angle A_2G_xI$

Nên $A_1,G_x,I$ thẳng hàng

Áp dụng bổ đề có dpcm

 Screenshot 2023-10-29 022104.png   74.52K   29 Số lần tải

Bài 30: Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. $G, N_a$ là điểm Gergone, Nagel của tam giác $ABC$. $K$ là điểm liên hợp đẳng cự với $H$ trong tam giác $ABC$. Chứng minh $GN_a$ đi qua $K$

Định nghĩa $I$ là tâm nội tiếp, $I_a,I_b,I_c$ là tâm bàng tiếp

$A_1,A_2,A_3,A_4$ là hình chiếu của $A,I,I_a$ xuống $BC$, $AH'$ cắt $BC$

Cần chứng minh $A(BH',N_aG_e)=B(AH',N_aG_e)$

Đường vuông góc qua $C$ với $BC,AC$ cắt $AI_a,BI_b$ tại $D,E$

Ta có $A(BH',N_aG_e)=(BA_4,A_3A_2)=(CA_1,A_2A_3)=(DA,II_a)$

Tương tự $(B(AH',N_aG_e)=(EB,II_b)$

Tương đương với việc $AB,I_aI_b,DE$ đồng quy

Sử dụng hàng điểm điều hòa là xong

 

Lời giải:

Gọi $K$ là giao điểm của trung trực $AH$ và $AO$

$AH$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$

Ta có:

$\angle KHA=\angle OAH=\angle OLH$ nên $HK//OL$

Nên $\frac{AH}{2HD}=\frac{AK}{KO}\Rightarrow \frac{HD}{KO}=\frac{SA}{SK}=\frac{SH}{SK}$

Lại có $A,S,H,K$ đồng viên nên theo vị tự quay thì $A,O,S,D$ đồng viên suy ra dpcm

Lời giải:

Gọi $N$ là trung điểm $I_bI_c$

$AQ,I_bI_c$ cắt $NP,BC$ tại $M,F$

Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $BC$ cắt $(O),PN$ tại $D,S$

Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $I_bI_c$ cắt $PD$ tại $E$

Bài toàn tương đương với chứng minh $E$ thuộc $(PI_bI_c)$

Ta có $NI_b=NI_c$ nên $MP$ là đường kính của $(PI_bI_c)$

Lại có $\angle QSN=\angle AFB=\angle ABN=\angle AQN$ nên $\angle QMN=\angle DQN=\angle DPN=\angle QEP$

Nên $E$ thuộc $(PI_bI_c)$

 geogebra-export.png   32K   20 Số lần tải