nohara

Mỗi ô vuông của lưới vuông 10×10 được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ sao cho tại mỗi ô có màu
xanh thì tổng số các ô màu đỏ ở hàng và cột chứa ô màu xanh đó không nhỏ hơn 10.
a) Đưa ra một cách tô thỏa mãn số ô màu xanh và số ô màu đỏ đều là 50.
b) Chứng minh với mọi cách tô thỏa mãn điều kiện trên, số ô màu xanh luôn không lớn hơn số ô màu đỏ.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương lẻ sao cho chúng nguyên tố cùng nhau và $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c},\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a},\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $|(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)|$ là số chính phương.

Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC (AB< AC) ngoại tiếp (I). Các tiếp điểm của (1) với BC,CA,AB
lần lượt là D,E,F. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB . Đường thẳng NP cắt các đường thẳng
DE,DF lần lượt tại Q,R.
1) Chứng minh rằng tam giác AQB vuông và B,I,Q thẳng hàng.
2) Gọi H là trực tâm của tam giác ARQ . Chứng minh rằng góc HAR=QAI .
3) Chứng minh rằng H,I,M thẳng hàng.

Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC (AB< AC) ngoại tiếp (I). Các tiếp điểm của (1) với BC,CA,AB
lần lượt là D,E,F. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB . Đường thẳng NP cắt các đường thẳng
DE,DF lần lượt tại Q,R.
1) Chứng minh rằng tam giác AQB vuông và B,I,Q thẳng hàng.
2) Gọi H là trực tâm của tam giác ARQ . Chứng minh rằng góc HAR=QAI .
3) Chứng minh rằng H,I,M thẳng hàng.