queensland

các huynh dịch giùm em 3 đoạn sau , khó dịch quá:

1>In this section we give several methods for obtaining formulas for some interesting finite sums, that is, sums with finitely many summands. We point out that we avoid on purpose the use of mathematical induction, since in many cases it is quite difficult to obtain the necessary hypothesis on how the result should look. This does not mean, however, that this method could not be used for certain problems. Indeed, the many examples in this section would be very useful for practicing this important method of proof. For the remainder of this section, let k, m, n be natural numbers

2>.In the following theo- rem, which generalizes the known formula (A + B)2 = A2 + 2AB + B2, we can take A, B to be numbers or expressions

3>
and so for i < 59 the (i + l)th summand is bigger than the ith. Similarly, we convince ourselves that for i > 60 the (i + l)th summand is less than the ith.

1. Trong đoạn này, ta sẽ giới thiệu vài phương pháp tìm công thức tính vài tổng hữu hạn (tức là tổng có hữu hạn số hạng) lý thú. Ta nhấn mạnh rằng ta cố tình tránh quy nạp toán học, bởi trong nhiều trường hợp, khó mà tìm được giả thuyết cần thiết về dạng của kết quả. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là phương pháp này không thể dùng được cho những bài toán nhất định nào đấy. Thực vậy, nhiều thí dụ trong đoạn này có thể rất hữu ích để thực hành phương pháp chứng minh quan trọng này. Trong phần còn lại của đoạn này, gọi k,m,n là các số tự nhiên

2. Trong định lý sau đây, vốn dĩ chính là công thức quen thuộc (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 được tổng quát hóa, ta có thể lấy A, B là số biểu thức

3. và vì vậy với i<59, số hạng thứ (i + l)th lớn hơn số hạng thứ i. Tương tự ta có thể tự chứng minh rằng với i>60, số hạng thứ (i + l) nhỏ hơn số hạng thứ i.