namdung

PHƯƠNG PHÁP HÀM THỤ 2.0

 

Hồi hè, khi tôi thông tin về một em học sinh ở Vĩnh Long chỉ học với tôi qua mạng mà đậu thủ khoa trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm và đậu cao vào chuyên toán PTNK, nhiều phụ huynh và học sinh đã quan tâm và hỏi tôi có dạy như vậy cho họ và con em họ không.

 

Lúc đó tôi chưa thể nhận lời bởi công việc này khá tốn thời gian, nếu như đối tượng và mục tiêu khác nhau thì khó lòng có thể đảm trách và làm tốt được. Một đằng là làm việc với một học sinh rất cụ thể, một đằng là cùng lúc nhiều học sinh.

 

Tuy nhiên những câu hỏi và đề xuất của PH và HS cũng khiến tôi suy nghĩ. Làm thế nào để đưa phương pháp học tích cực và hiệu quả này đến cho HS, đặc biệt là các em ở xa? Những suy nghĩ đó đã khiến tôi và Zuni.vn dễ dàng tìm được tiếng nói chung trong việc xây dựng một chương trình học hàm thụ với nội dung chuẩn bị thi vào chuyên toán 10.

 

 

Cách thức hoạt động khá đơn giản: Chúng tôi sẽ soạn trước các bộ bài tập (theo chủ đề và tổng hợp) và gửi đến học sinh. Học sinh sẽ tự làm bài và gửi đến cho chúng tôi chấm, sửa, nhận xét và lưu kết quả lại. Trong quá trình làm bài, có thể học sinh sẽ gặp khó khăn. Khi đó sẽ có 3 hình thức trợ giúp:

 

1. Trợ giúp ngay trong bộ đề: Thông thường các bài toán đều có dẫn dắt, có hướng dẫn. Cần đọc kỹ đề và khai thác các hướng dẫn đó.
2. Trên trang web của bộ bài tập, sẽ có tóm tắt lý thuyết và các câu hỏi thường gặp.
3. Có những phiên trợ giúp online để trả lời thắc mắc và hướng dẫn cho học sinh.

 

Hiện nay khóa học đã chính thức khởi động, các học sinh và phụ huynh quan tâm có thể vào trang web này để tìm hiểu (http://bit.ly/1SCTEAN). Có thắc mắc gì mọi người có thể hỏi tôi ngay tại topic này.

Cách chứng minh của vannam là cách chứng minh sử dụng hệ thặng dư.

Có thể nói một cách ngắn gọn là: nếu $(a, p) = 1 $và $ (x_1,x_2,...,x_{p-1}) $ là một hệ thặng dư thu gọn mô-đun p thì $ (ax_1,ax_2,...,ax_{p-1}) $ cũng là một hệ thặng dư thu gọn mô đun p.

Ngoài ra có 2 cách chứng minh khác cho định lý Fermat.

1. Cách chứng minh bằng quy nạp. Cách này sử dụng tính chất $ C^k_p $ chia hết cho p với mọi 0 < k < p. Cách này tôi đọc trên báo THTT cách đây gần 30 năm, trong bài báo do thầy Lê Quốc Hán viết:
Một cách ngắn gọn, ta có
$ (a+1)^p - (a+1) = (a^p - a) + (C^1_pa^{p-1}+C^2_pa^{p-2} +...) $
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

2. Cách chứng minh bằng tổ hợp. Cách này giải bài toán: Một đường tròn chia làm p cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng a màu. Hai cách tô được gọi là giống nhau nếu có thể thu được từ nhau bởi 1 phép quay. Cách này tôi đọc trong 1 bài báo của Spivak và Senderov trên tạp chí Kvant.

Với bài toán trên, có $ a^p $ cách tô màu p cung. Trong những số cách ấy, có những cách ta đếm lặp, cần loại đi. Ta thấy rằng nếu p cung được tô bởi 1 màu thì khi quay các góc 2pi/p, 4pi/p,..., 2(p-1)pi/p không thu được những cách tô khác. Trong khi đó, những cách tô sử dụng 2 màu trở lên khi quay sẽ cho ra các cách tô khác (chú ý tính nguyên tố của p). Vì vậy, mỗi một cách tô sử dụng 1 màu (có a cách tô như vậy) chỉ được đếm 1 lần trong tổng $a^p $cách tô, trong khi đó mỗi cách tô sử dụng 2 màu trở lên (có $a^p - a$ cách tô như vậy) được đếm p lần trong tổng nói trên.

Từ đó suy ra số cách tô cần tìm bằng $ a + \dfrac{a^p-a}{p} $. Vì số cách tô là số nguyên nên từ đây ta suy ra $a^p - a$ chia hết cho p.

Định lý Fermat nhỏ tuy đơn giản như vậy nhưng có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Các bạn hãy thử tìm và đưa ra những ví dụ ứng dụng của định lý này nhé.

Ngày 4/4, CLB tạm nghỉ dành cho Olympic 30/4.

Ngày 11/4, CLB sẽ sinh hoạt trở lại với chủ đề "Chuyên đề hình học phẳng" do thầy Xoa phụ trách.

Dưới đây là đề kiểm tra phần "Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh" hôm 28/3 vừa qua.

Đề kiểm tra
Ngày 28/3/2010
Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0 thì a, b, c là các số dương.

Bài 2. a) Chứng minh rằng nếu $ x_1, x_2 $ là các số thực dương thì ta có bất đẳng thức
$ (1+x_1)(1+x_2) \ge (1+\sqrt{x_1x_2})^2 $
b) Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2,..., x_n$ là các số thực dương thì ta có bất đẳng thức
$ (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n) \ge (1+(x_1x_2...x_n)^{1/n})^n $

Bài 3. Hai người cùng chơi một trò chơi như sau
Luật chơi: Có một đống n viên sỏi. Mỗi nước đi cho phép chia đống sỏi thành hai đống không rỗng. Hơn nữa trong suốt quá trình chơi, không có hai đống sỏi có số sỏi bằng nhau. Người nào đến lượt mình không thể đi được nữa sẽ thua.
Câu hỏi: a) Với n = 16 và nước đi đầu tiên của người thứ nhất là 5 + 11. Chứng minh rằng người thứ hai có cách đi để thắng.
b) Với n = 16 và nước đi đầu tiên của người thứ nhất là 5 + 11. Hãy chỉ ra một cách đi của người thứ hai để sau nước đi này, người thứ nhất có cách đi để thắng.
c) Ai là người có chiến thuật thắng khi n = 11? Giải thích rõ câu trả lời.

Bài 4. n đường tròn trên mặt phẳng có thể chia mặt phẳng thành nhiều nhất bao nhiêu miền?

Ghi chú: Học sinh chỉ cần làm 3 trong 4 bài toán.

Theo tôi, cách thi thành 2 ngày, mỗi ngày 3 bài là hợp lý nhất. Chẳng hạn, các bạn thử tưởng tượng đề thi thế này có hợp lý không nhé.

Ngày thứ nhất:
1. Bài 2 (Dãy số)
2. Bài 3 (Hình học)
3. Bài 4 (Số học)

Ngày thứ hai
4. Bài 1 (Phương trình)
5. 1 bài hình học khác nữa
6. Bài 5 (Tổ hợp)

Cấu trúc quá đẹp. Đảm bảo với cấu trúc như thế, số bạn làm được 4 bài (trung bình mỗi ngày 2 bài) sẽ nhiều hơn số bạn làm được 3 bài như đề hiện hành.

Tâm lý thoải mái, bạn nào không làm được cũng không có gì ấm ức.

Về việc giải thích thi 1 ngày là để tiết kiệm tiền tôi nghĩ không xác đáng. Nếu tính toán ra thì không tiết kiệm được bao nhiêu (các thầy cô đi coi thi thì tốn tiền tàu xe là chính, tiền ăn ở không bao nhiêu). Mà lợi thì bất cập hại. Thi 1 vòng là giống như đá bóng 1 hiệp vậy. Không cho phép học sinh sửa sai.

Sáng chủ nhật 31/1, CLB lớp 10 đã sinh hoạt buổi cuối cùng trong năm Kỷ Sửu.

Ca 1 thầy Nguyễn Phú Sỹ tiếp tục bài giảng về PP tọa độ.

Ca 2, các thành viên làm bài kiểm tra.

Tháng 2 này CLB chúng ta sẽ tạm nghỉ, sang tháng 3 sẽ tiếp tục trở lại.

Chúc các bạn một năm mới vui vẻ, thành công.

Chào các bạn,

Hôm nay là ngày 1/2, đúng 2 tháng từ ngày lớp luyện thi VMO 2010 khai giảng. Trong suốt khóa học, chương trình đã được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn học sinh, của các cựu Olympians và các thầy cô giáo. Chúng ta đã trải qua 9 bài thi, có được 1 số bài viết chuyên đề và ra được cuốn dethicactinh (song hành với mạng www.mathscope.org).

Ban chủ nhiệm lớp học xin cảm ơn các bạn Lê Nam Trường, Đinh Ngọc Thạch, Võ Quốc Bá Cẩn và một số bạn khác đã hỗ trợ trong việc ra đề và viết chuyên đề.

Xin biểu dương hai bạn Phạm Hy Hiếu và Nguyễn Mạnh Tiến đã tham gia giải đầy đủ nhất và cũng có kết quả tốt nhất. Ban tổ chức lớp học sẽ có các phần quà đặc biệt dành cho các bạn.

Hôm nay, chương trình lớp học xin được dừng tại đây. Đây là lúc các bạn học sinh cần có thời gian rà soát, kiểm tra lại những điều đã học, để ngấm sâu, ngấm kỹ.

Như một quà tặng nhân dịp Xuân về và Tết Nguyên đán sắp đến, gửi tặng các bạn 4 tài liệu:
1) Hướng dẫn thi HSG quốc gia (cảm ơn thầy Nguyễn Khắc Minh đã cung cấp tài liệu quan trọng này)
2) Tỷ số kép - Hàng điểm điều hòa - Cực-đối cực (Lê Nam Trường)
3) Nguyên lý Dirichlet (Trần Nam Dũng)
4) VMO 2010 Preparation (Trần Nam Dũng biên soạn)

Xin chúc các bạn một năm mới vui vẻ, thành công.

Tổng kết đề số 6: Có 15 bạn tham gia giải. Đề lần này khó nên không bạn nào giải được hết.

Đính kèm là lời giải của bạn Phạm Hy Hiếu. Bạn giải cả 5 bài nhưng lời giải bài 5 chưa chính xác.

Chúng tôi sẽ trình bày lời giải bài 5 sau.

Sáng chủ nhật 17/1, thầy Trần Đức Huyên đã dạy về Cực trị.

Sáng chủ nhật 24/1 này, thầy Nguyễn Phú Sỹ sẽ dạy về Ứng dụng của PP tọa độ trong chứng minh bất đẳng thức.

Lớp học dành cho lớp 11 tạm nghỉ, sang đầu tháng 3 mới bắt đầu trở lại.

Tổng kết tuần 4, số bạn tham gia giải đã giảm so với tuần 3, chỉ còn 13 bạn.

Trong các lời giải gửi về, hai bạn Tiến và Hiếu có lời giải hoàn chỉnh hơn cả. Trong đó lời giải của bạn Hiếu khá ngắn gọn.

Chúng tôi gửi đính kèm lời giải của bạn Hiếu.

Các bạn nhớ đón giải đề số 6 vào ngày mai nhé.

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương bằng 3. Chứng minh rằng

$ \dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{bc}} + \dfrac{1}{4-\sqrt{ca}} \le 1 $

Các bạn làm thử nhé.

Nhân đây, các bạn kiểm tra xem bất đẳng thức sau có đúng không (cũng với điều kiện trên):

$ \dfrac{1}{8-(a+b)} + \dfrac{1}{8-(b+c)} + \dfrac{1}{8-(c+a)} \le \dfrac{1}{2} $

Tổng kết tuần 3: Có 21 bạn gửi bài về cho chương trình, trong đó có 3 bạn giải hết cả 5 bài.

Bạn Nguyễn Mạnh Tiến có lời giải hoàn chỉnh hơn cả.

Đính kèm là bài giải (nguyên văn) của bạn Tiến, kèm theo lời giải đáp án cho bài số 5.

Cảm ơn các bạn đã tham gia chương trình và mời các bạn tham gia giải đề số 5 sẽ post vào ngày mai.

(Tiếp theo)

Bài giảng 2. Dãy truy hồi loại $ x_{n+1} = f(x_n) $

(Trích từ Giáo trình Giải tích 1, Jean-Marie Monier, NXBGD 1999)

5. $ u_0 \ge 0, u_{n+1} = \dfrac{2}{1+u_n^2} $

* Một phép quy nạp đơn giản chỉ ra rằng $ u_n \ge 0 $ với mọi n tự nhiên.
* Xét f: [0, +oo) --> [0, +oo), $ f(x) = \dfrac{2}{1+x^2} $ là một hàm liên tục. Ta có với mọi x thuộc [0, +oo), $ f(x) = x <=> x^3 + x - 2 = 0 <=> (x-1)(x^2+x+2) = 0 <=> x = 1 $.
Vậy nếu $u_n$ hội tụ thì chỉ có thể hội tụ đến 1.
* Ánh xạ f khả vi trên [0; +oo):
$ f'(x) = -\dfrac{4x}{(1+x^2)^2} \le 0 $ với mọi x thuộc [0;+oo),
vậy f giảm.
Vì f'(1) = -1, ta không thể lập luận như trong ví dụ 4.
* Ta sẽ chứng minh rằng $u_{2p} --> 1 $ và $u_{2p+1} --> 1$.
Cho g = fof: [0; +oo) --> [0; +oo), $g(x) = \dfrac{2(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2+4}$
Ta tính $ g(x) - x = -\dfrac{(x-1)^3(x^2+x+2)}{(1+x^2)^2+4} $.
Trường hợp 1. $u_0 \in [0, 1]$
Khi ấy với mọi p thuộc N, $u_{2p} \in [0, 1], u_{2p+1} \in [1, +oo) $,
Vậy, với mọi p thuộc N, $ u_{2p+2} - u_{2p} = g(u_{2p}) - u_{2p} \ge 0, u_{2p+3} - u_{2p+1} = g(u_{2p+1}) - u_{2p+1} \le 0 $
Do đó $(u_{2p}_p$ và $ (u_{2p+1})_p $ giảm.
Hơn nữa, vì với mọi p thuộc N, $u_{2p} \le 1 \le u_{2p+1}$, nên ta suy ra rằng $(u_{2p}_p$ hội tụ đến một phần tử L thuộc [0; +oo) và $(u_{2p+1}_p$ hội tụ đến một phần tử L' thuộc [0; +oo). Vì g liên tục trên [0, +oo) và vì x = 1 là nghiệm thuộc [0; +oo) duy nhất của phương trình g(x) = x, nên ta suy ra L = L' = 1.
Cuối cùng $u_n --> 1$.
Trường hợp 2.: $u_0 \in [1; +oo)$.
Vì $u_1 = f(u_0) \in [0; 1] $, ta quy về trường hợp trên (bằng cách thay $u_0$ bởi $u_1$) và ta có cùng một kết luận $u_n --> 1$.

Bài tập

1. Khảo sát sự hội tụ của các dãy sau
a) $ u_0 = 1, u_{n+1} = 1 - \dfrac{2}{u_n}$
b) $ u_0 > 0, u_{n+1} = \dfrac{3+u_n^2}{2(u_{n}+1)} $
c) $ u_0 \in R, u_{n+1} = u_n^2 + 2u_n $
2. Khảo sát dãy $ (u_n) $ được xác định bởi
$ u_0 \ge 0, u_{n+1} = \dfrac{6}{2+u_n^2} $
3. Khảo sát các dãy $ (u_n), (v_n) $ được xác định bởi
$ u_0 = v_0 = 0, u_{n+1} = \sqrt{3-v_n}, v_{n+1} = \sqrt{3-u_n} $

Chúc các bạn học tốt.

Tổng kết các bài giải đề số 2:

Với đề số 1, số bạn tham gia giải đã tăng lên thành 14 bạn. Con số này còn khá khiêm tốn so với số thành viên diễn đàn đang trực tiếp chuẩn bị thi và các bạn sẽ thi vào năm sau. Các bạn cố gắng tham gia và rủ bạn bè tham gia để rèn luyện thêm nhé. Và chúng ta cũng nên giải bài trong đúng 180 phút như thi thật. Sau đó sẽ dành thêm thời gian để đánh lời giải (cũng là một kỹ năng cần thiết). Không nhất thiết phải giải hết mới gửi bài. Thậm chí các bạn có thể nêu ý tưởng hoặc các tiếp cận (chưa hoàn chỉnh) của các bạn.

Trong số các bài giải gửi đến, lời giải của bạn Phạm Hy Hiếu là hoàn chỉnh hơn cả, dù rằng có 1 số chỗ lý luận còn chưa rõ ràng và súc tích.

Chúng tôi gửi bài giải này để các bạn tham khảo.

Tổng kết các bài giải đề số 1:

Mới chỉ có 7 bạn gửi lời giải về cho chúng tôi. Mong rằng các bạn sẽ tích cực hơn trong các lần sau. Chúng ta nên tập trình bày bài cho quen, cũng như quen với áp lực làm 5 bài toán trong 180 phút.

Trong các bài giải gửi về, bài làm của bạn Phạm Hy Hiếu (mashimaru) là hoàn chỉnh hơn cả. Chúng tôi gửi các bạn bài giải này.