Tìm kiếm
Nam
Hầu hết các bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopsky, Holder, Minkowsky, Chebysev ...) đều là các bất đẳng thức thuần nhất. Điều này hoàn toàn không ngẫu nhiên. Về logích, có thể nói rằng, chỉ có các đại lượng cùng bậc mới có thể so sánh với nhau một cách toàn cục được.
Chính vì thế, bất đẳng thức thuần nhất chiếm một tỷ lệ rất cao trong các bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức đại số (khi các hàm số là hàm đại số, có bậc hữu hạn). Đối với các hàm giải tích (mũ, lượng giác, logarith), các bất đẳng thức cũng được coi là thuần nhất vì các hàm số có bậc $\infty$(theo công thức Taylor).
Trong bài này, chúng ta sẽ đề cập tới các phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức thuần nhất, cũng như cách chuyển từ một bất đẳng thức không thuần nhất về một bất đẳng thức thuần nhất. Nắm vững và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp này, chúng ta có thể chứng minh được hầu hết các bất đẳng thức sơ cấp.
2. Bất đẳng thức thuần nhất
Hàm số $f(x_1,x_2,...,x_n)$ của các biến số thực $x_1,x_2,...,x_n$được là hàm thuần nhất bậc $\alpha$nếu với mọi số thực $t$ ta có
$f$là một hàm thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất (bậc $\alpha$).
Ví dụ các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Chebyshev là các bất đẳng thức thuần nhất. Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức $sinx<x$ với $x>0$ là các bất đẳng thức không thuần nhất.
- gbao198, caybutbixanh, hieuvipntp và 9 người khác yêu thích
