ly_tieulong39

1.Cho $x,y,z,t >0, xyzt=1$. Chứng minh với mọi $k \geq 0$ ta có:
$\sum \sqrt[3]{\dfrac{x}{y+k}} \geq \dfrac{4}{\sqrt[3]{k+1}}$

2. Tổng quát lên chứng minh bài sau:
$x,y,z >0, xyz=1$. Chứng minh với mọi $k \geq 0$ ta có:
$\sum \sqrt[n]{\dfrac{x}{y+k}} \geq \dfrac{4}{\sqrt[n]{k+1}}$

Từ từ nhé, từ dễ đến khó và nhớ làm nhiều cách nhe:
1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$, cm:
$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \leq 8$.
2, Cho $a,b,c$ là các số thực không âm, cm:
$a^3 + b^3 + c^3 -3abc \geq 2(\dfrac{b+c}{2} - a)^3$

Khởi động từ dễ đến khó nhé, chuẩn bị chưa, start:
1, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab + bc + ca = 3$. CM:
$\sum \dfrac{1}{a^2 +2} \leq 1$
2, Cho $a,b,c $là các số không âm thỏa $a^2 + b^2 + c^2 =3$. CM:
$\sum \dfrac{a}{a+2} \leq 1$

$\sum\limits_{cyc} \dfrac{a\sqrt{b+c}}{b+c+1} \geq \sqrt{2} $
sử dụng BĐT Holder, ta có:
$\sum\limits_{cyc} \dfrac{a\sqrt{b+c}}{b+c+1})^{2} . \sum\limits_{cyc} \dfrac{a(b+c+1)^{2}}{b+c } \geq (a+b+c)^{3}$
do đó ta cần CM:
$(a+b+c)^{3} \geq 2 \sum\limits_{cyc} \dfrac{a.(b+c+1)^{2}}{b+c}$
Sử dụng BĐT AM-GM, ta lại có:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b} \geq \sum\limits_{cyc} ab$
$\sum\limits_{cyc} \dfrac{b}{a} \geq \sum\limits_{cyc} ab$
$\sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b+c} \leq \dfrac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \dfrac{b}{a} $
Do đó$ VT-VP \geq \sum (a^{3}-4a+ \dfrac{1}{a} +2)$
Xét hàm số $f(x)=x^{3}-4x+ \dfrac{1}{x}+2+2lnx $với x>0, ta có:
$f'=(x-1)(3x+3+ \dfrac{1}{x ^{2} } - \dfrac{1}{x} )$
Nếu $x \leq 1 \dfrac{1}{x ^{2} \geq \dfrac{1}{x}
$
Nếu $x \geq 1 thi 1 \geq \dfrac{1}{x}$
Do đó $f(x)=0 \Leftrightarrow x=1$
từ đây ta dễ dàng kt được$ f(x) \geq f(1)=0 \forall >0$
Vậy $ \sum\limits_{cyc}(a^{3} -4a+ \dfrac{1}{a} +2) \geq -2 \sum\limits_{cyc}lna=0$
BĐT được CM xong
$"=" \Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho a, b, c thỏa a^2 + b^2 + c^2=1. Tìm cực trị của biểu thức:
P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)