quangvinht2

Một số đề ôn thi VMO 2011.
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn- Tỉnh BR_VT
GV: Trần Quang Vinh.

Đề 1.

Câu 1. Giải hệ Phương trình:
$ \left\{\begin{array}{l}X(x^{2}+3y{2}=14\\2(x^{3}-y^{3})=5x^{2}-xy-4y^{2}\end{array}\right. $
Câu 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn (O), AD cắt BC tại E. Trên cung nhỏ BD lấy tùy ý điểm M. ME cắt đường tròn (O) tại F khác M, DF cắt BC tại điểm N. Chứng minh rằng: AD là phân giác góc MAN.
Câu 3. Tìm các số nguyên dương x, y, z sao cho:
$2x^{2}=y^{2}+(4z+5).2011^{z}$
Câu 4. Cho a,b,c là các số dương có tích là 1. chứng minh rằng:
$ \dfrac{1}{(a+1)^{2}}+\dfrac{1}{(b+1)^{2}}+\dfrac{1}{(c+1)^{2}}+\dfrac{1}{a+b+c+1} $
Câu 5. Tồn tại hay không hàm số f:R-->R sao cho $f(x-f(y))=y-f(x)$ với mọi x, y
Câu 6. Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) (Theo chiều kim đồng hồ). Ban đầu ta viết tùy ý ba số đôi một khác nhau vào các đỉnh A, C, E. Sau đó ta viết vào các đỉnh nằm giữa 2 đỉnh vừa viết đó một số bằng hiệu của hai số đang có (theo chiều kim đồng hồ), rồi xóa các số đã viết ở lần trước. (Ví dụ: Đỉnh A, C, E lần lượt viết các số a,c,e thì đỉnh B, D, F lần lượt viết các số a-c;c-e;e-a rồi xóa đi các số a,c,e ). Quá trình trên thực hiện liên tiếp nhiều lần. Chứng minh rằng với mọi cách chọn số ban đầu, sau hữu hạn lần viết ta luôn có được một số lớn hơn 2011 và một số nhỏ hơn – 2011.

Đề này vừa cho kiểm tra 2 tuần trước để chọn đội tuyển đi thi Tỉnh. (có cả file đính kèm)

Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x}+ \sqrt{y}= \dfrac{1}{2} \\(x+ \dfrac{1}{y})^{y}=(y+ \dfrac{1}{x} )^{x} \end{array}\right. $

Câu 2 (4 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều có thể tích là 1. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.

Câu 3 (3 điểm)
Cho dãy số $ x_{1}=1 ; x_{n+1} =7- log_{3} ( x_{n} ^{2}+11) $. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn.

Câu 4 (3 điểm)
1. Cho n là số nguyên dương. tính tổng $S=[nlog2]+[nlog5]$
2. Chứng minh rằng tồn tại n nguyên dương sao cho trong biểu diễn của $5^{n}$ có đúng 2010 chữ số 0 đứng cạnh bên nhau.

Câu 5 (4 điểm)
Cho các số $a,b,c \in(0;2) $ thỏa mãn $abc+2(a+b+c)=ab+bc+ca+4$
Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 3$

Câu 6. (2 điểm)
Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng ơới mọi n nguyên dương thì số
$S=2^{np} \sum\limits_{k=1}^{p-1}((-1)^{kp}(cos ( \dfrac{k \pi }{p}) )^{pn}) $ là số nguyên và là bội của p.

Mời các bác làm thử.
Đề chọn đội tuyển toán lớp 12 năm học 2008-2009
Câu 1. Giải hệ phương trình
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=yz+ \dfrac{8}{x} =2zx - \dfrac{2}{y} =3xy + \dfrac{18}{z} $
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi $ x_{1}=1; x_{n+1}= \dfrac{1}{2((x_{n})^{2}+1)}-2008 $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N.
Chứng minh rằng: 1) AI là phân giác góc $ \widehat{MAK} $
2) $ \dfrac{NB}{NC}= \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} $
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn
$f(x)-2f(2x)+f(4x)=x^{2}+x$ với mọi x
Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})( \dfrac{1}{(a-b)^{2}}+ \dfrac{1}{(b-c)^{2}}+ \dfrac{1}{(c-a)^{2}}) \geq \dfrac{11+5 \sqrt{5} }{2} $
Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n).