Mr Stoke

Bài toán này cũ rồi, nếu không nhầm là một bài thi HSG của Đức, nhưng gần đây MS mới nhận ra có thể giải nó rất đơn giản bằng kiến thức của lớp 7, các bạn cùng nghĩ nhé (cấm cấp 3 vào giải )

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên cùng lớn hơn $M$ và $abc+1$ là ước của một trong các số $(a-b)^2$, $(b-c)^2$ hoặc $(c-a)^2$.

Xin mời ...

Lâu rồi MS mới viết bài trên diễn đàn, tặng các bạn yêu thích số học bài toán này:

Bài toán: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và $n$ số nguyên tố $p_1,\ldots,p_n$ phân biệt thỏa mãn điều kiện

$$\frac{\left(p_1\cdots p_n\right)^2-1}{\left(p_1-1\right)^2\cdots\left(p_n-1\right)^2}\in\mathbb Z. $$

Hy vọng bài toán không quá tầm thường.