dduclam

Bài toán 66 (tôi đề xuất lần đầu trên ML, từ rất lâu rồi) có thể giải như sau:
Theo AM-GM: $$a^2+3\ge2\sqrt{2(a^2+1)}$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac3{\sqrt2}$$
Thực chất, ta cần chứng minh bất đẳng thức sau với mọi $a,b,c>0$
$$\sqrt{\dfrac a{a+b}}+\sqrt{\dfrac b{b+c}}+\sqrt{\dfrac c{c+a}}\le \dfrac3{\sqrt2}$$
Theo Cauchy-Schwarz
$$\sum \sqrt{\dfrac a{a+b}} =\sum \sqrt{\dfrac {a(a+c)}{(a+b)(a+c)}}\le\sqrt{2(\sum a)\left(\sum\dfrac{a}{(a+b)(a+c)}\right)}$$
Cuối cùng ta chứng minh
$$\sum\dfrac{a}{(a+b)(a+c)} \le \dfrac 9{4(a+b+c)}$$
tương đuơng $8(a+b+c)(ab+bc+ca)\le9(a+b)(b+c)(c+a)$, là bất đẳng thức quen thuộc.

Bài làm
Ta có: \[abc = 1 \Leftrightarrow \ln a + \ln b + \ln c = 0\]
Đặt :$\ln a = x;\ln b = y;\ln c = z \Rightarrow x + y + z = 0$
Khi đó: \[VT = \dfrac{{{e^x}}}{{{{({e^x})}^2} + 3}} + \dfrac{{{e^y}}}{{{{({e^y})}^2} + 3}} + \dfrac{{{e^z}}}{{{{({e^z})}^2} + 3}}\]

Xét : $f(x) = \dfrac{{{e^x}}}{{{{({e^x})}^2} + 3}}$( hàm lõm)

Theo BĐT tiếp tuyến ta có: $f(x) \le f'({x_0}).(x - {x_0}) + f({x_0})$
Với ${x_0} = 0$ ta có :\[f(x) \le f'(0).(x - 0) + f(0) = \dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{4}\]
Làm tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều ta được:

$f(x) + f(y) + f(z) \le \dfrac{1}{8}(x + y + z) + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x = y = z = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Bài này Đạt post cách không dùng đạo hàm của em lên nhé. .
Ngoài cách ở trêna,anh có 2 cách khác nhưng vẫn dùng tới đạo hàm.
Cách 1:
Khảo sát hàm :\[f(x) = \dfrac{x}{{{x^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln x\]
Hàm này đạt cực đại tại $x = 1$.
Ta suy ra được : \[f(x) \le f(1) = \dfrac{1}{4}\]
Tương tự với 2 biểu thức còn lại rồi cộng ba bđt cùng chiều ta được:\[\dfrac{x}{{{x^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln x + \dfrac{y}{{{y^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln y + \dfrac{z}{{{z^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln z \le \dfrac{3}{4}\]
Suy ra đpcm do \[\ln x + \ln y + \ln z = 0\].
Cách 2:
Theo BĐT AM-GM ta có: \[\sum {\dfrac{a}{{{a^2} + 3}}} \le \sum {\dfrac{a}{{2a + 2}}} \]
Ta sẽ Chứng minh:
\[\sum {\dfrac{a}{{2a + 2}}} \le \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \sum {\dfrac{a}{{a + 1}}} \le \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum {\dfrac{1}{{a + 1}}} \ge \dfrac{3}{2}\]
Đến đây anh dùng đạo hàm, không biết Đạt làm ntn?

Cả ba cách này đều sai!
Cách 1. Chưa tính $f''$ đã vội kết luận hàm lõm. Kì thực, $f$ không lõm.
Cách 2. Nhầm lẫn nghiêm trọng cực đại với giá trị lớn nhất!
Cách 3. Bất đẳng thức cuối sai thì làm sao chứng minh được!

Tôi nghĩ, thay vì tìm nhiều cách chứng minh, trước hết các bạn hãy tìm một lời giải đúng và kiểm tra kĩ càng nó cũng như tập trình bày chi tiết lời giải đó. Điều đó có ích hơn là cố tìm thật nhiều cách chứng minh nhưng không có cách nào chính xác. Nên nhớ, tư tưởng qua loa đại khái rất có hại khi học toán.

Một cách khác đầy thú vị cho Bài 2

Ta có:

$\begin{array}{l}S = \dfrac{{ab}}{{2 - c}} + \dfrac{{ac}}{{2 - b}} + \dfrac{{bc}}{{2 - a}}\\ \Leftrightarrow - S = \dfrac{{ab}}{{c - 2}} + \dfrac{{ac}}{{b - 2}} + \dfrac{{bc}}{{a - 2}} \ge \dfrac{{{{(\sqrt {ab} + \sqrt {ac} + \sqrt {bc})}^2}}}{{a + b + c - 6}}\\ \Leftrightarrow - S \ge \dfrac{{ - {{(a + b + c)}^2}}}{4} \Rightarrow - S \ge - 1 \Leftrightarrow S \le 1\end{array}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=2/3

Lời giải này sai rồi. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng $\sum \dfrac{x_i^2}{a_i}\ge\dfrac{(\sum x_i)^2}{\sum a_i}$ chỉ đúng khi $a_i>0$.
Lưu ý các bạn trẻ, không nên quá lạm dụng những bất đẳng thức mạnh để giải quyết những bài toán đơn giản.

Năm nay tổ chức ở Hà Nội mà mời được GS Ngô Bảo Châu tham gia được thì tuyệt quá nhỉ.

@nguyen xuan huy: Cậu Huy đi thi năm 2008 à? Cậu học khoa, khóa nào vậy?

Hay là trại hè lần 2010 tổ chức ở Pháp hay Đức nhỉ ^^ Trên diễn đàn có khá nhiều thành viên đang du học tại đó mà (như anh newest và anh chuyentoan chẳng hạn ^^)

Tổ chức ở Việt Nam mà khối thành viên còn kêu kinh phí thì tổ chức bên trời Tây chắc chỉ có... vài người có khả năng:D

Hy vọng vài... trăm năm nữa, trại hè Toán học Việt Nam là một hoạt động thường niên của cộng đồng toán học thế giới

Đề 5 câu/3 tiếng mà "phủ đầu" sạch đẹp như thế này thì thí sinh chết như rạ cũng ko có gì bất thường.

Nếu cứ thi theo hình thức này thì những người vào thi TST chưa hẳn đã là những người giỏi nhất, rõ ràng nhân tài "rơi rụng" đi nhiều. Có lẽ cũng vì thế mà mấy năm gần đây thành tích của đội tuyển IMO VN sút giảm đáng kể so với trước.

Gần như nước nào cũng thi 2 ngày, tại sao nước mình lại có "sáng kiến" ko được nhiều người chấp thuận thế nhỉ?

Còn nữa, việc gì mà phải cấm sử dụng MTBT trong kì thi chứ?

Tôi có một vài ý kiến thế này:

1. "Trong chương trình phổ thông, bất đẳng thức nên được dạy như thế nào là vừa phải? Dạy những gì, dạy đến đâu?"
- Đối với học sinh đại trà: Về mức độ kiến thức như chương trình SGK lớp 10 là vừa. Về phạm vi kiến thức, cần dạy:
+ Biến đổi tương đương.
+ Các Bất đẳng thức cổ điển: Cauchy, Buniakovski (2 số)
+ Ứng dụng của tam thức bậc hai.
Lên lớp 11, 12 dạy thêm: Ứng dụng của đạo hàm.

- Đối với học sinh các lớp chuyên toán: Giới thiệu thêm những phần sau đây:
+ Bất đẳng thức Cauchy, Buniakovski nhiều hơn 2 số và các biến dạng, bất đẳng thức Chebyselv, bất đẳng thức Shur,...
+ Hàm lồi và bất đẳng thức Jensen.
+ Một số áp dụng khác như chuẩn hóa, đồng bậc...

- Bồi dưỡng HSG và thi Olympic: Chỉ những kiến thức trên nhưng tăng độ khó và tính lắt léo của bài tập áp dụng.
Có thể dạy thêm về những kiến thức cơ sở của phương pháp dồn biến.

Hai phần sau này không liên quan lắm đến chủ đề topic nhưng tôi muốn nói cho liền mạch.

2. Thực tế việc dạy và học bất đẳng thức ở Việt Nam.
- Đối với học sinh đại trà: Hầu hết học sinh đại trà cho việc học bất đẳng thức là một "khổ sai". Và cũng không nhiều trong số đó biết cách áp dụng các kiến thức về bất đẳng thức đã học để làm bài tập.
Một số giáo viên vẫn có thói quen hay ra cho học trò mình những bất đẳng thức mà áp dụng quá lắt léo (đối với trình độ một học sinh đại trà), đó cũng thường là những câu "chốt", câu để "lấy điểm 10" trong các kỳ thi, kiểm tra.. khiến cho học sinh run sợ khi phải đối mặt với câu bất đẳng thức. Và hệ quả là, hầu hết sẽ bỏ qua không làm (dù chưa thử) vì tâm lý "làm cũng biết có ra hay không".
Tệ hại hơn cũng vì tâm lý đó mà nhiều học sinh "bỏ hẳn" bất đẳng thức, đi thi nếu có gặp cũng bỏ qua luôn (câu bất đẳng thức thường chiếm ít điểm). Dần dần kiến thức bất đẳng thức chỉ còn lại con số 0.

- Đối với học sinh các lớp chuyên: Vì yêu cầu cao hơn và được dạy kỹ hơn nên những kiến thức cơ bản hầu hết là nắm được. Tuy nhiên điều đáng nói là có một bộ phận không nhỏ lại nảy sinh xu hướng "sùng bái" bất đẳng thức, dành quá nhiều thời gian cho bất đẳng thức làm xao lãng các phần khác. Hậu quả là mặc dù bất đẳng thức có thể giỏi nhưng chất lượng chung không cao.

Một điều có thể thấy rõ từ những sự trái ngược trên đó là khoảng cách giữa một người học bất đẳng thức và một người không học bất đẳng thức là rất lớn.

3. Về vấn đề "nghiên cứu bất đẳng thức sơ cấp"
Tôi sẽ không đi sâu vào vấn đề này nữa, tuy nhiên trong topic này tôi muốn chốt lại vài điều:
- Học sinh có nên "nghiên cứu" bất đẳng thức hay không? Có lẽ hầu hết câu trả lời tại thời điểm này đều là "không". Còn tôi, tôi lại nghĩ là cũng có thể. Nhưng tôi muốn nhấn mạnh ở đây rằng, nếu các bạn có khả năng, có điều kiện thì hãy nghiên cứu tất cả các vấn đề trong toán sơ cấp chứ không chỉ mỗi làm bất đẳng thức.
Nếu học sinh học các phần khác cũng có tinh thần sáng tạo, siêng học hỏi như với bất đẳng thức thì chất lượng giáo dục chắc đã khác.

- Sinh viên (hoặc đã đi làm, tóm lại là không còn là học sinh nữa) thì có nên "nghiên cứu" bất đẳng thức hay không? Tôi nghĩ cái này tùy vào sở thích và niềm đam mê của mỗi người, ko nên có những thành kiến hay quan điểm một chiều. Miễn là việc đó thật sự có ý nghĩa đối với chính họ.

- Một số ý kiến cho rằng GV và HS bây giờ quá mệt mỏi vì sự ra đời của nhiều cuốn sách bất đẳng thức ? Tại sao lại mệt mỏi? Mệt mỏi hay không là ở chính GV, HS đó mà thôi. Sách ra là một chuyện, việc ta học như thế nào lại là chuyện khác. Tuy nhiên nếu căn cứ vào điều đó để mà thách thức hay "khích" nhau làm bất đẳng thức thì thật sự là không nên, và cũng không nên nghĩ như vậy. Vậy thì cũng chẳng có điều gì phải "lo sợ" ở đây cả.

- Có ý kiến lại cho rằng học sinh thời nay nên học bất đẳng thức ít thôi? Có lẽ câu này chỉ dành cho một tỉ lệ rất rất bé vì trong số học sinh đang theo học THPT, có mấy phần trăm thực sự học bất đẳng thức ?


Tóm lại,
- Đối với học sinh đại trà phổ thông: Hãy học bất đẳng thức như những phần khác. GV cũng hãy dạy như những phần khác, hoặc có thể dạy kỹ hơn (nhưng không khó hơn, vì bất đẳng thức thường khó áp dụng hơn những phần khác) tránh ra những bài tập vượt quá khả năng tư duy của học sinh, dễ gây ra những nhìn nhận không tốt về bất đẳng thức.
- Đối với những học sinh yêu toán nói chung và yêu bất đẳng thức nói riêng, tôi không phản đối các bạn nhưng tôi có một lời khuyên thế này, các bạn hãy yêu các phần khác của toán học như yêu bất đẳng thức, dành thời gian nghiên cứu chúng như nghiên cứu bất đẳng thức. Hy vọng rồi đây sẽ ra đời những cuốn sách kiểu như "Sáng tạo bất đẳng thức" trong Hình học, Tổ hợp...
- Đối với đối tượng khác yêu bất đẳng thức: Đó là sở thích của mỗi người. Họ có quyền đi theo con đường mà họ đã chọn.

Cuối cùng, tôi cũng nhận thấy việc học bất đẳng thức ở trường phổ thông hiện nay còn nhiều điều đáng bàn. Tuy nhiên chúng ta nên bàn để làm sao cho học sinh đại trà học bất đẳng thức tốt hơn, hơn là bàn học sinh có nên học nhiều bất đẳng thức hay không, vì dù sao thì học nhiều vẫn có ích hơn là không biết gì.

Chà, bây giờ mình mới thực sự để ý đến Box này. Các thầy quả là tâm huyết!
Một hoạt động hay như vậy đáng ra phải thu hút nhiều thành viên thảo luận mới phải, đằng này đọc trong mấy topic kia thì thấy cũng không nhiều. Lạ thật!

Thầy Dũng(và một số thầy khác như thầy Quang,thầy Đức...) thì khỏi nói rồi Tiếc là mình ở ngoài Bắc. Ở ngoài này cũng nhiều thầy cô tâm huyết nhưng lại rất hiếm có 1 seminar về toán sơ cấp

Có 1 bài hay tui nghĩ ra cách đây khá lâu rùi nè,tui muốn thử "gân cốt" thằng bạn cậu tí xíu!
GPT: $ \sqrt[3]{9x^2-15x+9} + \sqrt{x^3+3x^2-3x+1} +x=2$

Bài này rất hay,vậy mà ko cóa ai vô giải chơi nhỉ ĐS: Nghiệm duy nhất $ x=-\sqrt[3]4-\sqrt2-1 $

Sau đây là 1 số bài dễ xơi hơn,đều do mình "bịa" ra cả
Bài 2: GPT :$3 \sqrt[3]{2x-x^2} +3\sqrt[3]{2x^2-x^3}=2x^2-3x+7$
Bài 3: GPT: $x^3(x^4+1)=x^4+2x+2$
Bài 3:GPT: $\sqrt{3x^2+4x-4} +2\sqrt{5-2x}=6$
Bài 4: GPT: $\sqrt[3]{x^3+4x^2+2x}+\sqrt{x^2-x-1}+x+1$

Lại phải...mời mọi người một lần nữa,nếu ko lại bỏ quên mất đứa con rơi này

1) $tanA+tanB+tanC \geq 3\sqrt{3}$
2) $tan \dfrac{A}{2} +tan \dfrac{B}{2} +tan \dfrac{C}{2} \geq \sqrt{3} $
anh nào biết giải giùm em.Cảm ơn

1) Sử dụng đẳng thức $tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC$ (CM dựa vào $\dfrac{A+B}2=\dfrac {\pi}2-\dfrac{C}{2}$ rồi lấy tan 2vế)
ta có theo AM-GM(Cauchy) $(tanA+tanB+tanC)^3 \ge 27tanA.tanB.tanC=27(tanA+tanB+tanC) \Rightarrow$ đpcm.

2) Sử dụng $tan \dfrac{A}{2}tan \dfrac{B}2 +tan \dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}2 +tan \dfrac{C}{2}tan \dfrac{A}2 =1 $(CM tương tự)
và BĐT cơ bản $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$
có ngay đpcm!

Hừm,bạn này bi quan quá rùi. Đầu óc nào cũng thế thôi. Chỉ có "đầu to ý chí như trái nho" mới là đáng lo!