Lemoine

1, Giả sử $P(x)$ có nghiệm a nguyên, $P(x)=(x-a).Q(x); Q(x)\in Z[x]$
thì $P(1)=(1-a)Q(1); P(0)=(0-1)Q(0)$;
Chú ý $(1-a)$ và $(0-a)$ có một số chẵn, dẫn đến P(1), P(0) không thể cùng lẻ, dẫn đến không có nghiệm nguyên.

2, giả sử P(x)=Q(x).H(x) khả quy, $deg[Q(x)] \leqslant 3 < deg[H(x)]$
ta có $|Q(x)|.|H(x)|=1$ ở 7 giá trị khác nhau, dẫn đến $|Q(x)|=1$ ở 7 giá trị khác nhau, dẫn đến tồn tại 4 giá trị mà Q(x)=1 hoặc -1, dẫn đến Q(x) là hằng số. Conclusion: bất khả quy

3, Không mất tổng quát giả sử $P(x)=k\prod (x-a_i) \prod (x^2+ax+b)$ có bậc khác 1
tức là P(x) là tích của các đơn thức lũy thừa một, và các nhị thức bất khả quy lũy thừa một, bởi vì nếu có lũy thừa lớn hơn, có thể giản ước đi bội của 2. Ta sẽ chứng minh P(x) là hằng số
Chọn vô hạn các giá trị $x_j=p_j+a_1$ trong đó $p_j$ là số nguyên tố, thu được $P(x_j)$ là số chính phương có ước nguyên tố $p_j$ nên có ước $p_j^2$, dẫn đến tồn tại một nhị thức con của P(x) mà nhận $(x_j-a_1)$ làm ước vô hạn lần. Mâu thuẫn với tính bất khả quy của nhị thức con. (Lưu ý ở đây đơn thức con của P(x) không thể nhận $(x_j-a_1)$ làm ước vô hạn lần, bởi vì khi cho x tiến tới vô cùng điều này không thỏa mãn). ĐPCM

4, Giả sử đa thức bậc n, $f(x)=a_nx^n+...+a_1x^1+a_0$, bậc lớn hơn hoặc bằng 2
thay thế n+1 giá trị hữu tỉ khác nhau, thu được tất cả các hệ số là số hữu tỉ, hoặc có thể chứng minh quy nạp
Thế giá trị vô tỉ $m+\sqrt{n}$, m,n hữu tỉ, n không phải là bình phương của một số hữu tỉ. Thu được kết quả
$f(m+\sqrt{n})=H(m,n)+\sqrt{n}.R(m,n)$ trong đó H(m,n) và R(m,n) là các đa thức 2 biến với hệ số hữu tỉ. Vì f(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, nên R(m,n) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1
Luôn tồn tại cách chọn giá trị m,n sao cho R(m,n)=0 (dựa vào tính liên tục của hàm đa thức); khi đó ta có $f(m+\sqrt{n})=H(m,n)$ là số hữu tỷ, mâu thuẫn với giả thiết
Dẫn đến f(x) là đa thức bậc nhất với hệ số hữu tỉ.

Sao gõ lại ko hiện nhỉ =.=

Cho em hỏi chỗ này $ f^{(2008)}(x) + f^{(2008)}(y) = 0$ là mũ 2008 hay là đạo hàm cấp đó ạ
Chỗ này nữa, $a_{n+1} = \dfrac{a_n^2}{a_n^2 - a_n^2 + 1}$ có phải đề là $a_{n+1} = \dfrac{a_n^2}{a_n^2 - a_n+ 1}$ không ạ

Theo anh được biết thì chủ nhật tuần này sẽ có kết quả.Hi vọng năm nay Thanh Hóa sẽ có quốc tế

hình như Thanh Hóa có 2 người được , anh Ý với anh Ngọc Anh , thấy cô Năm nói là thông tin từ chỗ thầy Hoa , năm nay Thanh hóa bội thu rồi