hunghien

Đối với dạng pt nghiệm nguyên này thì ta thưởng sử dụng phương pháp "lựa chọn module". Cái này thì được nhắc tới khá nhiều trong quyển 5 Phương trình nghiệm nguyên trong chùm sách về số học của thày Phan Huy Khải.
Ngay cả bài trên cũng nằm nốt trong sách nên mình chả thú vị lắm khi dùng những từ ngữ như "đố", "thách thức",etc... Mong bạn chú ý hơn.

Một điều hiển nhiên ai cũng biết bài toán trên nằm trong cuốn sách của Phan Huy Khải nhưng mong anh hãy xem kĩ, lời giải trong đó đã bỏ qua trường hợp giải PT: $3^x+4=7^y$ mà em vừa trình bày, đó là lí do em đưa bài toán này lên để thảo luận vì đó là trường hợp hay nhất nhưng lại bị bỏ qua.

Em viết nhầm: phải là dễ dàng cm y=1 trong PT: $3^x+4^y=7^z (1)$(lỗi đánh máy). việc tìm nghiệm nguyên ta đưa về tìm nghiệm nguyên dương.
Theo modulo 4, x và z cùng tính chẵn lẻ. Theo modulo 10, lại có thêm x và z cùng lẻ.
Do đó $4^y\equiv 4(mod8)$ nên $y=1$.
Ngoài lời giải trên, bạn em còn nêu một lời giải khác, các bạn có thể tham khảo nó tại đây.

Bài 2 thì quá dễ rồi nhá. Bài 1 thì dễ dàng chứng minh được y=1. Nhiệm vụ bây giờ là việc giải quyết phương trình: $3^x+4=7^z$. Xin đc giới thiệu lời giải của 1 người bạn tôi tên là Trung ở Nam Định.
* Khi x=1 thì ta có z=1.
* Khi $x\geq 2$, dễ dàng có đc x,z là các số lẻ (bằng việc kiểm tra theo modulo 8)
$7^{3k}\equiv 1 (mod 9), 7^{z}\equiv 4 (mod 9)$
$\Rightarrow z\equiv 2 (mod 3)\Rightarrow 3^x=7^{3k+2}-4 \equiv 7 (mod 19)$
Gọi d là bậc của 3 modulo 19. Theo định lý Fermat, $3^{18}\equiv 1(mod 19)$, nhưng $3^9\equiv -1 (mod 19)$. Do đó d chẵn.
Mặt khác,$3^6\equiv 7 (mod 19) \Rightarrow 0\equiv 3^6. (3^{z-6}-1} (mod 19)
\Rightarrow 3^{z-6}\equiv 1 (mod 19)\Rightarrow z-6$ chia hết cho d, vậy z chẵn, trái với nhận định ban đầu.
Vậy PT chỉ có nghiệm duy nhất $x=z=1$.

gợi ý cho mọi người bài 1: $3^x+4^y=5^z$. Dễ dàng cm được y=1. bài toán quy về việc GPT: $3^x+4=7^z$. Chúc các bạn thành công trong bài toán này!