Tìm kiếm
Nam
Cho $2n$ giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một bộ $3$ đỉnh của đa giác được gọi là nằm cùng phía nếu $3$ điểm đó nằm trên cùng một nửa đường tròn tâm $O$. Hãy tìm số cách chọn ra $3$ đỉnh phân biệt sao cho cả $3$ đỉnh này nằm cùng phía
Duck_Pro
Đề dự bị Quốc gia 2008
27-08-2008 - 20:21
ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 TPT NĂM 2008
Thời gian: 180 phút
Câu 1 (3 điểm):Hãy xác định tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình có nghiệm:
$| a x^{2} -2x+a|+|(a-1) x^{2} +a+1|=(a+ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} )( x^{2}+1)$
Câu 2 (3 điểm): Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $O_{1}$ nằm khác phía với $O$ so với đường thẳng $AB$, sao cho đường tròn tâm $O_{1}$ bán kính $O_{1}A$ cắt lại các đường thẳng $AC$ và $BC$ tương ứng tại các điểm $A_{1}$ và $B_{1}$ thỏa mãn điêu kiện: giao điểm của các đường thẳng $AB_{1}$ và $A_{1}B$ nằm trên đường tròn (O), đồng thời đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOO_{1}$ cắt lại $A_{1}B_{1}$ tại điểm thứ hai $D$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, B, D, O_{1}$ cùng nằm trên một đường tròn.
($(O)$ kí hiệu đường tròn tâm $O$)
Câu 3 (2 điểm): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,n)$ thỏa mãn điều kiện: mỗi ước nguyên tố của $a^n +1$ cũng là ước nguyên tố của $a+1$.
Câu 4 (3 điểm): Cho số thực a và dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi:
$x_{1}=a$ và $x_{n+1}=ln(3+cos x_n+sin x_n)-2008$ với mọi $n = 1,2,3,...$
Chứng minh rằng dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng.Câu 5 (3 điểm): Trong không gian, cho 259 điểm sao cho không có 4 điểm nào đồng phẳng. Người ta nối một số cặp điểm bởi các đoạn thẳng sao cho nếu điểm $A$ được nối với điểm $B$ thì một trong 2 điểm đó chỉ được nối với không quá 7 điểm khác trong số 257 điểm còn lại. Hãy xác định số tối đa các đoạn thẳng có thể nối được.
Câu 6 (3 điểm): Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz =1$. Chứng minh rằng
$8(x+y+z)^{3}$ 
$10(x^{3}+y^{3}+z^{3})+11(x+y+z)(1+4xyz)-12xyz$
Câu 7 (3 điểm): Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho Hyperbol $(H)$ có phương trình $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$. Gọi $A_{1}, A_{2}$ là các đỉnh của $(H)$. Gọi $B_{1}, B_{2}$ là các giao điểm của hình chữ nhật cơ sở của $(H)$ với trục ảo của nó. Trên $(H)$, lấy một điểm $M$ tùy ý; gọi $P$ và $Q$ tương ứng là hình chiếu của $M$ trên các trục $Ox$ và $Oy$. Chứng minh rằng
$MP^{2}(MQ^{2}-2a^{2})=\bar{PA_{1}}\bar{PA_{2}}\bar{QB_{1}}\bar{QB_{2}}$
