Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#722303 $$\sum\limits_{n= 2}^{\infty}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 16-05-2019 - 22:03

 

$\{$Một kết quả rất đẹp$.$$\}$

$$\prod\limits_{n= 2}^{\infty}\,\frac{n^{\,3}+ 1}{n^{\,3}- 1}= \frac{3}{2}$$

 

 

Chắc dùng cái này là xong!

 

$$\frac{(n+1)^{\,3}+ 1}{n^{\,3}- 1}=\frac{n+2}{n-1} \cdot \frac{(n+1)^2-(n+1)+1}{n^2+n+1}=\frac{n+2}{n-1},\, \forall n>1 .$$




#722147 $$\sum\limits_{n= 2}^{\infty}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 12-05-2019 - 08:28

$\{$Một kết quả rất đẹp$.$$\}$

$$\sum\limits_{n= 2}^{\infty}\,\frac{n^{\,3}+ 1}{n^{\,3}- 1}= \frac{3}{2}$$

Đây là một kết quả sai!

 

Có lẽ bạn gõ nhầm tích thành tổng.




#721397 Dãy số - giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-04-2019 - 21:26

mn giúp em bài 2,4,5,6 với cả nhà iu !!!

 

Em đã quen với cấp số cộng (CSC) và cấp số nhân (CSN):  tổng của chung?

 

Bài 2: Lập hiệu $2S_{n}-S_n$ (trừ các số hạng tương ứng), xuất hiện tổng CSN.

 

Bài 4: $\{u_n^2\}$ là một CSC.

 

Bài 5: Dãy tăng và $u_n \le \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}= 2+ \left( 1-\frac{1}{n}\right)<3.$

 

Bài 6: Đặt $v_n= u_n-\frac{n(n-1)}{2}$. Ta có $v_{n+1}=v_n+2^n.$

Từ đây, suy ra $v_n$ (tổng một CSN).
 




#721074 Giới hạn "lạ" $\lim_{x\rightarrow -\infty...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:13

Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}\right )$

 

Chú ý:

  $$\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}= \left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} -x\right )+\left (\sqrt{x^{2}+2x}+x\right ).$$

 

Nhân lượng liên hiệp, ta sẽ xử lý được giới hạn.




#721073 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:08

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \dfrac{4}{1-x}+ \dfrac{1}{x}$, với $0<x<1$.

 

Dùng BĐT: với các số thực dương $u,\, v$ và các số thực $a,\, b$, ta có 

$$\frac{a^2}{u}+\frac{b^2}{v}\ge \frac{(a+b)^2}{u+v}.$$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{u}=\frac{b}{v}.$




#721004 $4x^{3}f(x)=[f'(x)]^{3}-x^{3}$. T...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-03-2019 - 22:38

Ta có $$f'(x)= x\sqrt[3]{4f(x)+1}\Rightarrow \frac{f '(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x.$$

 

Do đó, $$\int \frac{d f(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=\frac{x^2}{2}+C.$$ 

Suy ra  $f(x)=...$




#720712 $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 08-03-2019 - 16:17

Cho dãy số xác định bởi $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n+1} = 2019x_{n}^{2} + x_{n}.$ với mọi x $\geq 1$.

đặt $y_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$.   tìm lim $y_{n}$.

 

Ta có $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}=\frac{1}{2019x_{k}+1}$ và

$$\frac{1}{x_{k+1}}=\frac{1}{x_{k}}-\frac{2019}{2019x_{k}+1}.$$

Do đó,
$$2019 y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}.$$

...




#720659 Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 05-03-2019 - 21:45

anh ơi chứng minh nó là dãy đơn điệu kiểu gì ùng

 

Em dùng các gợi ý sau:

1) $x_n\in (0,1] \forall n\in \mathbb{N},$

 

2) $x_{n+1}= f(x_n)$ với $f(x)=\frac{1}{x+1}$ là hàm giảm trên $(0,1].$

 

Chứng minh bằng qui nạp: $\{x_{2n+1}\}$ là dãy giảm; $\{x_{2n}\}$ là dãy tăng.

 

$$x_3<x_1 \Rightarrow x_4=f(x_3)> f(x_1)=x_2\Rightarrow  x_5=f(x_4)<f(x_2)=x_3, ...$$




#720603 Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 02-03-2019 - 21:30

Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}+1}$ với n>=1. Cmr: dãy số trên giới hạn hữu hạn

 $\{x_{2n}\} , \{x_{2n+1}\}$ là các dãy đơn điệu và bị chặn. Do đó, chúng hội tụ; và hội tụ cùng một giới hạn. Suy ra ĐCPCM. 




#720341 tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 19-02-2019 - 23:26

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2};\\ x_{n+1}=\frac{nx_n^2}{1+(n+1)x_n} \end{matrix}\right. ,\forall n\in \mathbb{N}^\ast$

 

Chứng minh rằng $x_n\leqslant\frac{1}{n(n+1)}$ và tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1+(k+1)x_k}$

 

Giúp em với ạ, có thể chỉ mỗi phần chứng minh đầu tiên là được rồi ạ.

 

Em thử dùng qui nạp kết hợp với khảo sát hàm số!




#720200 $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-02-2019 - 16:14

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

 


 

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

 

Ta có 

 

$$\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}= \left[ \left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{\frac{x-3\sin x}{2}}\right]^{\frac{2(x+cosx)}{x-3sinx}}.$$

 

Hơn nữa, vì $\lim_{x\to \infty}(x-3sinx)=\infty $ nên

\[\lim_{x\to \infty}\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{\frac{x-3\sin x}{2}}=e,\]

và 

\[\lim_{x\to \infty}\frac{2(x+cosx)}{x-3sinx}=2.\]

Do đó, giới hạn cần tìm bằng $e^2.$




#717769 Tìm giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 24-11-2018 - 20:55

1/ lim($\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n}$)

2/ lim ($\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$)

 

1/  Vì  $\frac{k}{n^2+n}\le  \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}\forall k\le n$ nên $$\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+k}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+1}\,\forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $\frac{1}{2}.$

 

2/ Ta có $$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $1.$




#717697 Mọi người làm giúp e bài cực trị 2 biến này với

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-11-2018 - 21:28

Tìm tất cả cực trị của hàm số 2 biến sau: 

$f(x,y)= x^{4}+y^{4}-x^{2}-xy-y^{2}$ 
Ở chỗ $(x,y)=(0,0)$ thì e không biết làm. Mong mọi người làm giúp e với ạ

 

Cách 1:

Dùng điều kiện đủ.

 

Cách 2:

Ta có 

$$f(x,y)\le \left(x^2+y^2\right)^2 -\frac{x^2+y^2}{2} \le 0=f(0,0)\,  \forall (x,y) \in B_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(0,0).$$

Suy ra $(0,0)$ là điểm cực đại địa phương của hàm số.




#717684 Bài toán về tích phân

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-11-2018 - 18:44

Em xin chào các anh chị trên diễn đàn ạ. Nhờ mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn nhiều ạ.

1. Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx$

 

Tồn tại số thực dương $M$  sao cho $0<\ln (1+x) \le \sqrt{x}\, \forall x\ge M.$
Từ đó suy ra TPSR hội tụ.




#716765 $\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{cotg(x)^2}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-10-2018 - 23:01

$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{\cot^2 x}.$

 

 

Ta có $$(1+x^2)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \ln{(1+x^2)}}.$$

 

Hơn nữa, 

$$\lim_{x\to0}\cot^2 x \ln{(1+x^2)}= \lim_{x\to0}\cos^2 x \frac{\ln{(1+x^2)}}{x^2}\frac{1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=1. $$

 

Suy ra $$\lim_{x\to0} (1+x^2)^{\cot^2 x} =e.$$