Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#725556 Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-09-2019 - 22:14

Xét sự hội tụ của chuỗi

 

$$\sum_{n=2}^{\infty }\left ( n^{\frac{1}{n+n^{3}\ln n}}-1 \right )$$

 

Dùng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn cho 2 chuỗi số dương:

$n^{\frac{1}{n+n^{3}\ln n}}-1 \sim \frac{\ln n}{n+n^{3}\ln n}.$

Hơn nữa, $0<\frac{\ln n}{n+n^{3}\ln n}<\frac{1}{n^3},~ \forall n\ge 1.$

Suy ra chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty }\left ( n^{\frac{1}{n+n^{3}\ln n}}-1 \right )$ hội tụ.




#725494 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ P=\int_{0}^{2...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-09-2019 - 05:19

 

Cho hàm số f(x) liên tục và không âm trên [0;1].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ P=\int_{0}^{2}(2f(x)+3x)f(x)dx-\int_{0}^{1}(4f(x)+x)\sqrt{xf(x)}dx $

 

Hình như tích phân thứ nhất gõ nhầm!




#725346 .chứng minh $\sum\limits_{n= 0}^{i}\f...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 09-09-2019 - 14:48

$\lfloor$ .ngoài ra. $i$ nghiệm này nằm trên $i$ khoảng .

 

Trên mỗi khoảng $(k,k+1)$, $0<k<i-1$, hàm số $f$ tương ứng đơn điệu. Hơn nữa, từ kết quả $\lim_{x\to k^{+}}f(x)$ và $\lim_{x\to (k+1)^{+}}f(x)$, ta suy ra điều cần chứng minh.




#725109 Mấy anh giúp em bài này ạ

Gửi bởi An Infinitesimal trong 02-09-2019 - 17:26

Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $2$. CMR phương trình $x^n=x^2+x+1$ có đúng 1 nghiệm dương gọi là  $x_{n }$

a, Tính $lim_{x_{n}}$

b, Tìm tất cả số thực $\alpha$ để dãy số ($y_{n}$) ($n$ $\geq$ $3$) với $y_{n}=n^{\alpha }(x_{n}-x_{n+1})$ có giới hạn hữu hạn và khác $0$

Bạn tự chứng minh phương trình $x^n=x^2+x+1$ có nghiệm dương duy nhất.

Xét $f_n(x)=x^n-(x^2+x+1).$

 

Vì $f_n(1)f_n(2)<0$ nên $x_n\in (1,2),~ \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Hơn nữa, ta có

 

$$1<x_n=\sqrt[n]{x_n^2+x_n+1}<\sqrt[n]{7},~ \forall n\in \mathbb{N}.$$

 

Áp dụng định lý kẹp, ta nhận được $\lim x_n=1.$

 

 

 

 




#724935 Tìm giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 27-08-2019 - 16:55

Mong các cao thủ và quản trị viên giúp mình với ạ.Mình cần gấp

 

 

Ta có $\frac{(2^n-2)n+2^{n}+2^{n+2}}{6^n}= \left(1-\frac{2}{2^n}\right) \frac{n}{3^n}+ \dfrac{5}{3^n}.$ 

Và $\lim \frac{1}{a^n}=0$ với $a>1$, $\lim \frac{n}{3^n}=0$. Do đó, giới hạn cần tìm bằng $0.$




#724277 $$\begin{equation}\begin{split}\...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 28-07-2019 - 18:06

$$\begin{equation}\begin{split} \int_{0}^{1}\sqrt[3]{x(x+ 1)^{2}}{\rm d}x \end{split}\end{equation}$$

 

Dùng phép đổi biến $t=\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}}.$




#723333 vấn đề ở định nghĩa 7

Gửi bởi An Infinitesimal trong 26-06-2019 - 17:46

mình thấy (-1)^n có giới hạn mà sao nó nói dãy số này không có giới hạn. Ai giải thích được không? 

 

Bạn nên đọc kỹ hơn! Nếu bạn nghĩa dãy đó hội tụ thì hội tụ về đâu?




#722303 $$\sum\limits_{n= 2}^{\infty}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 16-05-2019 - 22:03

 

$\{$Một kết quả rất đẹp$.$$\}$

$$\prod\limits_{n= 2}^{\infty}\,\frac{n^{\,3}+ 1}{n^{\,3}- 1}= \frac{3}{2}$$

 

 

Chắc dùng cái này là xong!

 

$$\frac{(n+1)^{\,3}+ 1}{n^{\,3}- 1}=\frac{n+2}{n-1} \cdot \frac{(n+1)^2-(n+1)+1}{n^2+n+1}=\frac{n+2}{n-1},\, \forall n>1 .$$




#722302 Pt vi phân $y'=(3x-5+y)^{2}$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 16-05-2019 - 21:58

Giải phương trình vi phân: $y'=(3x-5+y)^{2}$

 

Đổi ẩn hàm $u=3x-5+y.$

 

PTVP: $u'=u^2+3.$




#722147 $$\sum\limits_{n= 2}^{\infty}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 12-05-2019 - 08:28

$\{$Một kết quả rất đẹp$.$$\}$

$$\sum\limits_{n= 2}^{\infty}\,\frac{n^{\,3}+ 1}{n^{\,3}- 1}= \frac{3}{2}$$

Đây là một kết quả sai!

 

Có lẽ bạn gõ nhầm tích thành tổng.




#721397 Dãy số - giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-04-2019 - 21:26

mn giúp em bài 2,4,5,6 với cả nhà iu !!!

 

Em đã quen với cấp số cộng (CSC) và cấp số nhân (CSN):  tổng của chung?

 

Bài 2: Lập hiệu $2S_{n}-S_n$ (trừ các số hạng tương ứng), xuất hiện tổng CSN.

 

Bài 4: $\{u_n^2\}$ là một CSC.

 

Bài 5: Dãy tăng và $u_n \le \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}= 2+ \left( 1-\frac{1}{n}\right)<3.$

 

Bài 6: Đặt $v_n= u_n-\frac{n(n-1)}{2}$. Ta có $v_{n+1}=v_n+2^n.$

Từ đây, suy ra $v_n$ (tổng một CSN).
 




#721074 Giới hạn "lạ" $\lim_{x\rightarrow -\infty...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:13

Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}\right )$

 

Chú ý:

  $$\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}= \left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} -x\right )+\left (\sqrt{x^{2}+2x}+x\right ).$$

 

Nhân lượng liên hiệp, ta sẽ xử lý được giới hạn.




#721073 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:08

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \dfrac{4}{1-x}+ \dfrac{1}{x}$, với $0<x<1$.

 

Dùng BĐT: với các số thực dương $u,\, v$ và các số thực $a,\, b$, ta có 

$$\frac{a^2}{u}+\frac{b^2}{v}\ge \frac{(a+b)^2}{u+v}.$$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{u}=\frac{b}{v}.$




#721004 $4x^{3}f(x)=[f'(x)]^{3}-x^{3}$. T...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-03-2019 - 22:38

Ta có $$f'(x)= x\sqrt[3]{4f(x)+1}\Rightarrow \frac{f '(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x.$$

 

Do đó, $$\int \frac{d f(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=\frac{x^2}{2}+C.$$ 

Suy ra  $f(x)=...$




#720712 $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 08-03-2019 - 16:17

Cho dãy số xác định bởi $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n+1} = 2019x_{n}^{2} + x_{n}.$ với mọi x $\geq 1$.

đặt $y_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$.   tìm lim $y_{n}$.

 

Ta có $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}=\frac{1}{2019x_{k}+1}$ và

$$\frac{1}{x_{k+1}}=\frac{1}{x_{k}}-\frac{2019}{2019x_{k}+1}.$$

Do đó,
$$2019 y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}.$$

...