Đến nội dung

An Infinitesimal

An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#720200 $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-02-2019 - 16:14

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

 


 

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

 

Ta có 

 

$$\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}= \left[ \left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{\frac{x-3\sin x}{2}}\right]^{\frac{2(x+cosx)}{x-3sinx}}.$$

 

Hơn nữa, vì $\lim_{x\to \infty}(x-3sinx)=\infty $ nên

\[\lim_{x\to \infty}\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{\frac{x-3\sin x}{2}}=e,\]

và 

\[\lim_{x\to \infty}\frac{2(x+cosx)}{x-3sinx}=2.\]

Do đó, giới hạn cần tìm bằng $e^2.$




#717769 Tìm giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 24-11-2018 - 20:55

1/ lim($\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n}$)

2/ lim ($\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$)

 

1/  Vì  $\frac{k}{n^2+n}\le  \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}\forall k\le n$ nên $$\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+k}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+1}\,\forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $\frac{1}{2}.$

 

2/ Ta có $$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $1.$




#717697 Mọi người làm giúp e bài cực trị 2 biến này với

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-11-2018 - 21:28

Tìm tất cả cực trị của hàm số 2 biến sau: 

$f(x,y)= x^{4}+y^{4}-x^{2}-xy-y^{2}$ 
Ở chỗ $(x,y)=(0,0)$ thì e không biết làm. Mong mọi người làm giúp e với ạ

 

Cách 1:

Dùng điều kiện đủ.

 

Cách 2:

Ta có 

$$f(x,y)\le \left(x^2+y^2\right)^2 -\frac{x^2+y^2}{2} \le 0=f(0,0)\,  \forall (x,y) \in B_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(0,0).$$

Suy ra $(0,0)$ là điểm cực đại địa phương của hàm số.




#717684 Bài toán về tích phân

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-11-2018 - 18:44

Em xin chào các anh chị trên diễn đàn ạ. Nhờ mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn nhiều ạ.

1. Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx$

 

Tồn tại số thực dương $M$  sao cho $0<\ln (1+x) \le \sqrt{x}\, \forall x\ge M.$
Từ đó suy ra TPSR hội tụ.




#716765 $\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{cotg(x)^2}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-10-2018 - 23:01

$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{\cot^2 x}.$

 

 

Ta có $$(1+x^2)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \ln{(1+x^2)}}.$$

 

Hơn nữa, 

$$\lim_{x\to0}\cot^2 x \ln{(1+x^2)}= \lim_{x\to0}\cos^2 x \frac{\ln{(1+x^2)}}{x^2}\frac{1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=1. $$

 

Suy ra $$\lim_{x\to0} (1+x^2)^{\cot^2 x} =e.$$




#716639 Chứng minh dãy số sau có giới hạn $L$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 16-10-2018 - 18:50

dxuhivlrwf9g2f4qd.png
Giả sử √x=L.
Anh chị giúp e chứng minh dãy trên là hữu hạn và có giới hạn là L với.
Em rất cảm ơn ạ :)

 

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ Hơn nữa, $u_{n}-u_{n-1}=\frac{x-u_{n-1}^2}{2u_{n-1}}\le 0 \forall n\ge 2.$
Vì thế $\left\{ u_n\right\}_{n\ge 2}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ. Gọi $b= \lim u_n, b\ge \sqrt{x}.$

 

Cho hệ thức truy hồi qua giới hạn, ta nhận được phương trình: $b= \frac{1}{2}\left( b+\frac{x}{b}\right).$ Suy ra $b=L=\sqrt{x}.$ Điều cần phải chứng minh.




#716226 Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 02-10-2018 - 07:38

Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac{arctan(x)}{1+x^2}=O(\frac{1}{x^2})$

 

Điều này dễ thấy vì $\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}.$




#714695 Cho dãy số (un):

Gửi bởi An Infinitesimal trong 22-08-2018 - 22:57

"Ngịch đảo" ta sẽ dẫn ra dãy truy hồi tuyến tính $2v_{n+2}=v_{n+1}+v_{n}, n\ge 1,$ trong đó $v_n= \frac{1}{u_n}.$

 

Giải tìm $v_n$ theo $n$. Từ đó, ta xác định được $\lim u_n.$




#713654 Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 01-08-2018 - 16:01

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

 

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.




#713053 ${{u}_{n+1}}=\dfrac{u_{n...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 22-07-2018 - 21:12

Mình đang muốn hướng tìm số hạng tổng quát. Liệu có tìm được không nhỉ?

 

Hãy cho mình một lý do để ta lại đi theo tiếp cận phức tạp hơn hướng đơn giản?




#712981 ${{u}_{n+1}}=\dfrac{u_{n...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 22-07-2018 - 02:31

Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi ${{u}_{1}}>0$ và ${{u}_{n+1}}=\dfrac{u_{n}^{3}+4{{u}_{n}}}{u_{n}^{2}+1}$ với mọi $n\ge 1.$ Chứng minh rằng ${{u}_{n}}<\dfrac{2{{u}_{1}}+3(n-1)}{2}$ với mọi $n\ge 2.$

 

Mấu chốt là tính chất sau: $u_{n+1}\le u_n+\frac{3}{2}\, \forall n\ge 1.$




#712565 Tìm giới hạn dãy $1+\frac{1}{2} +...+\frac...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-07-2018 - 13:23

Tìm giới hạn dãy $1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}$

P/s:Mong mọi người bỏ ra chút thời gian giúp mình với ạ!

 

Dùng đánh giá $\ln{(1+x)}\le x,$ ta có 

$\frac{1}{k}\ge \ln\left( 1+\frac{1}{k}\right)=\ln{(k+1)}-\ln k. $

Suy ra 

$$1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\ge \ln{(n+1).}$$

Do đó, 

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\right)=\infty.$$




#708466 Chứng minh rằng $2<x_{n}.y_{n}<3$ với m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-05-2018 - 20:48

Cho 2 dãy số $(x_n),(y_n)$ thoả mãn:

$x_1=y_1=\sqrt{3}$

$x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_{n}^{2}}$

$y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}}$

Chứng minh rằng $2<x_{n}y_{n}<3$ với mọi $n\geq2$

 

Dùng lượng giác, ta sẽ tìm ra SHTQ của hai dãy. Từ đó, ta chứng minh được điều cần phải chứng minh.




#707940 Tích phân bội

Gửi bởi An Infinitesimal trong 08-05-2018 - 23:45

Tính các tích phân kép sau:

$I=\int_{D}\sqrt{2x-x^2-y^2}d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2-2x+y^2\leq 0$

$I=\int_{D}\left | {2x-x^2-y^2}\right |d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2+y^2\leq2y.$

 

Bài 1: Dùng phép đổi biến $x=1+r\cos\theta,\, y=r\sin\theta$. Miền trong "tọa độ cực" này là $0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi.$

Định thức Jacobi phép biến đổi cũng là $r$.

 

Bài 2: tương tự bài 1.

 

Bạn kiểm tra thử!




#707939 Chứng minh hàm số liên tục

Gửi bởi An Infinitesimal trong 08-05-2018 - 23:42

Chứng minh 

1) f(x) liên tục tại x = 0 

2) Hàm không khả vi tại mọi điểm

1) Vì $|f(x)|\le |x| \forall x\in \mathbb{R}$ nên, theo định lý kẹp, hàm số liên tục tại $0.$

 

2)

Xét tính khả vi của $f$ tại mỗi $a\in \mathbb{R}.$

 

TH1:  $a=0.$ Đặt $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}.$ 

 

TH2: $a\neq 0.$

Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$

 

 

Khi đó, $g(x_{2n})=1,\, g(x_{2n+1})=0.$ Khi đó,

  $$\lim_{n\to\infty} g(x_{2n})=1\neq 0=\lim_{n\to\infty} g(x_{2n+1}).$$

Suy ra, $\lim_{x\to 0} g(x)$ không tồn tai. Do đó, $f$ không khả vi tại $a=0.$

TH2: $a\neq 0.$

Ta chứng minh $f$ không liên tục tại $a.$

 Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$

Khi đó, $f(x_{2n})=x_{2n},\,  g(x_{2n+1})=0.$ Khi đó,

  $$\lim_{n\to\infty} f(x_{2n})=a\neq 0=\lim_{n\to\infty} f(x_{2n+1}).$$

 

 Do đó, $f$ không liên tục tại $a\neq 0.$

Suy ra, $f$ không khả vi tại $a\neq 0.$