Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#721073 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:08

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \dfrac{4}{1-x}+ \dfrac{1}{x}$, với $0<x<1$.

 

Dùng BĐT: với các số thực dương $u,\, v$ và các số thực $a,\, b$, ta có 

$$\frac{a^2}{u}+\frac{b^2}{v}\ge \frac{(a+b)^2}{u+v}.$$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{u}=\frac{b}{v}.$




#721004 $4x^{3}f(x)=[f'(x)]^{3}-x^{3}$. T...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-03-2019 - 22:38

Ta có $$f'(x)= x\sqrt[3]{4f(x)+1}\Rightarrow \frac{f '(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x.$$

 

Do đó, $$\int \frac{d f(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=\frac{x^2}{2}+C.$$ 

Suy ra  $f(x)=...$




#720712 $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 08-03-2019 - 16:17

Cho dãy số xác định bởi $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n+1} = 2019x_{n}^{2} + x_{n}.$ với mọi x $\geq 1$.

đặt $y_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$.   tìm lim $y_{n}$.

 

Ta có $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}=\frac{1}{2019x_{k}+1}$ và

$$\frac{1}{x_{k+1}}=\frac{1}{x_{k}}-\frac{2019}{2019x_{k}+1}.$$

Do đó,
$$2019 y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}.$$

...




#720659 Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 05-03-2019 - 21:45

anh ơi chứng minh nó là dãy đơn điệu kiểu gì ùng

 

Em dùng các gợi ý sau:

1) $x_n\in (0,1] \forall n\in \mathbb{N},$

 

2) $x_{n+1}= f(x_n)$ với $f(x)=\frac{1}{x+1}$ là hàm giảm trên $(0,1].$

 

Chứng minh bằng qui nạp: $\{x_{2n+1}\}$ là dãy giảm; $\{x_{2n}\}$ là dãy tăng.

 

$$x_3<x_1 \Rightarrow x_4=f(x_3)> f(x_1)=x_2\Rightarrow  x_5=f(x_4)<f(x_2)=x_3, ...$$




#720603 Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 02-03-2019 - 21:30

Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}+1}$ với n>=1. Cmr: dãy số trên giới hạn hữu hạn

 $\{x_{2n}\} , \{x_{2n+1}\}$ là các dãy đơn điệu và bị chặn. Do đó, chúng hội tụ; và hội tụ cùng một giới hạn. Suy ra ĐCPCM. 




#720341 tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 19-02-2019 - 23:26

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2};\\ x_{n+1}=\frac{nx_n^2}{1+(n+1)x_n} \end{matrix}\right. ,\forall n\in \mathbb{N}^\ast$

 

Chứng minh rằng $x_n\leqslant\frac{1}{n(n+1)}$ và tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1+(k+1)x_k}$

 

Giúp em với ạ, có thể chỉ mỗi phần chứng minh đầu tiên là được rồi ạ.

 

Em thử dùng qui nạp kết hợp với khảo sát hàm số!




#720200 $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-02-2019 - 16:14

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

 


 

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

 

Ta có 

 

$$\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}= \left[ \left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{\frac{x-3\sin x}{2}}\right]^{\frac{2(x+cosx)}{x-3sinx}}.$$

 

Hơn nữa, vì $\lim_{x\to \infty}(x-3sinx)=\infty $ nên

\[\lim_{x\to \infty}\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{\frac{x-3\sin x}{2}}=e,\]

và 

\[\lim_{x\to \infty}\frac{2(x+cosx)}{x-3sinx}=2.\]

Do đó, giới hạn cần tìm bằng $e^2.$




#717769 Tìm giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 24-11-2018 - 20:55

1/ lim($\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n}$)

2/ lim ($\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$)

 

1/  Vì  $\frac{k}{n^2+n}\le  \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}\forall k\le n$ nên $$\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+k}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+1}\,\forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $\frac{1}{2}.$

 

2/ Ta có $$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $1.$




#717697 Mọi người làm giúp e bài cực trị 2 biến này với

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-11-2018 - 21:28

Tìm tất cả cực trị của hàm số 2 biến sau: 

$f(x,y)= x^{4}+y^{4}-x^{2}-xy-y^{2}$ 
Ở chỗ $(x,y)=(0,0)$ thì e không biết làm. Mong mọi người làm giúp e với ạ

 

Cách 1:

Dùng điều kiện đủ.

 

Cách 2:

Ta có 

$$f(x,y)\le \left(x^2+y^2\right)^2 -\frac{x^2+y^2}{2} \le 0=f(0,0)\,  \forall (x,y) \in B_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(0,0).$$

Suy ra $(0,0)$ là điểm cực đại địa phương của hàm số.




#717684 Bài toán về tích phân

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-11-2018 - 18:44

Em xin chào các anh chị trên diễn đàn ạ. Nhờ mọi người giúp em bài này với, em cảm ơn nhiều ạ.

1. Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng:

$\int_{1}^{+\infty}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx$

 

Tồn tại số thực dương $M$  sao cho $0<\ln (1+x) \le \sqrt{x}\, \forall x\ge M.$
Từ đó suy ra TPSR hội tụ.




#716765 $\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{cotg(x)^2}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-10-2018 - 23:01

$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x^2)^{\cot^2 x}.$

 

 

Ta có $$(1+x^2)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \ln{(1+x^2)}}.$$

 

Hơn nữa, 

$$\lim_{x\to0}\cot^2 x \ln{(1+x^2)}= \lim_{x\to0}\cos^2 x \frac{\ln{(1+x^2)}}{x^2}\frac{1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=1. $$

 

Suy ra $$\lim_{x\to0} (1+x^2)^{\cot^2 x} =e.$$




#716639 Chứng minh dãy số sau có giới hạn $L$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 16-10-2018 - 18:50

dxuhivlrwf9g2f4qd.png
Giả sử √x=L.
Anh chị giúp e chứng minh dãy trên là hữu hạn và có giới hạn là L với.
Em rất cảm ơn ạ :)

 

Nếu không có giả thiết $a>0$ thì đề sai.

 

Khi $a>0,$ dùng BĐT Cauchy, suy ra $u_n\ge \sqrt{x} \forall n\ge 1.$ Hơn nữa, $u_{n}-u_{n-1}=\frac{x-u_{n-1}^2}{2u_{n-1}}\le 0 \forall n\ge 2.$
Vì thế $\left\{ u_n\right\}_{n\ge 2}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ. Gọi $b= \lim u_n, b\ge \sqrt{x}.$

 

Cho hệ thức truy hồi qua giới hạn, ta nhận được phương trình: $b= \frac{1}{2}\left( b+\frac{x}{b}\right).$ Suy ra $b=L=\sqrt{x}.$ Điều cần phải chứng minh.




#716226 Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 02-10-2018 - 07:38

Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac{arctan(x)}{1+x^2}=O(\frac{1}{x^2})$

 

Điều này dễ thấy vì $\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}.$




#714695 Cho dãy số (un):

Gửi bởi An Infinitesimal trong 22-08-2018 - 22:57

"Ngịch đảo" ta sẽ dẫn ra dãy truy hồi tuyến tính $2v_{n+2}=v_{n+1}+v_{n}, n\ge 1,$ trong đó $v_n= \frac{1}{u_n}.$

 

Giải tìm $v_n$ theo $n$. Từ đó, ta xác định được $\lim u_n.$




#713654 Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 01-08-2018 - 16:01

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

 

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.