Đến nội dung

An Infinitesimal

An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#703437 Giới hạn hàm nhiều biến

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-03-2018 - 18:23

Tính giới hạn (nếu có) :

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}}$

 

Cho $(x,y)\to (0,0)$ dọc theo đường cong tham số $x^2+y^2=ky.$ Ta có thể đơn giản hóa $x=\sqrt{ky-y^2}$ với $k>0, 0<y<k.$

Đặt $f(x,y)=\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}.$

Khi đó,  $f(\sqrt{ky-y^2},y) =\frac{k}{1+k^2}.$ Suy ra $\lim_{y\to 0^{+}}(\sqrt{ky-y^2},y)$ phụ thuộc $k$. Do đó, giới hạn $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ không tồn tại.




#703301 $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 11-03-2018 - 19:21

Cho dãy số $U_n$ được xác định bởi $(1)$ và $(2)$

Tính giới hạn $U_n$: 

$(1)$ $u_1=1$

$(2)$ $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt{{{U}_{n}}^{2}+\frac{2n+1}{{{2}^{n}}}}$ $n\geq 1$

$u_{n+1}^2+a_{n+1}=u_n^2+a_n$, trong đó $a_{n}=\frac{4n+6}{2^n}.$

...




#702667 tính $lim \frac{u_{n+1}-u_{n}}{u...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 03-03-2018 - 16:08

bạn có thể làm chi tiết được không ạ , mình cảm ơn 

 

Vì $u_{n+1}\ge 3 u_n>0, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim u_{n}=\infty.$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{9x^2+11x+3}.$

 

Khi đó, $\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{f(u_n)-u_n}{f(u_n)+u_n}.$

 

Từ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}-1}{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}.$

Suy ra 

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{1}{2}.$$




#702573 Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 01-03-2018 - 23:56

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+.....+u_{n}=n^{2}u_{n} & \end{matrix}\right.$

Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

Ta có $(n-1)^2u_{n-1}+u_n=n^2 u_{n}, n\ge 2.$

Do đó $u_{n}= \frac{n-1}{n+1}u_{n-1}=\frac{2}{(n+1)n}u_1.$

Do đó, $\lim n^2u_n=4.$




#702242 $U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-02-2018 - 13:50

Lời giải 3: (Tuyến tính hóa)

 

Ta có $$ u_{n+1}^{3}-3u_{n+1}= \sqrt{u_n+2} \le \frac{u_n+6}{4}.$$

Sử dụng thông tin $u_n \ge 2$, ta có thể giải tương tự như bài 2 nhưng với tính toán đơn giản hơn.

(Nếu "tiếp tục quảng bá cho bổ đề giới hạn" thì đây là một minh họa tốt!)

 

Lời giải 4: 

(Dùng định lý Lagrange/ Dãy co)
Dãy số có dạng

 

$f(u_{n+1})= g(u_n)$

thỏa: có các số thực dương $a, b$:  $f'(x)> a> 0<g'(x)<b \forall x\ge 2$ với $\frac{b}{a}<1.$




#702241 $U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-02-2018 - 13:41

Cho $(U_{n})$:$\left\{\begin{matrix}U_{1}=3 & \\ U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_{n}} & \end{matrix}\right.$

Tính lim $U_{n}$

 

 

Lời giải 1:

 

Ta có $\left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2 = \sqrt{2+u_n}-2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}.$

Hơn nữa, vì $u_1>2$ nên $u_{n}>2 \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Và ta có thể ra dãy là dãy giảm thông qua một trong các "đánh giá" sau:

(i) $u_ n\ge \sqrt{2+u_n}=u_{n+1} (u_{n+1}^2-3) \ge u_{n+1} . (2^2-3)=u_{n+1} \forall n\in mathbb{N}.$

 

(ii) Dùng qui nạp với phác thảo phần chính: Vì $u_{n+1}^{3}-3u_{n+1}- [u_{n}^{3}-3u_{n}]= \sqrt{u_{n}+2}- \sqrt{u_{n-1}+2}$ nên

$\left( u_{n+1}-u_n\right)\left(u_{n+1}^2+u_{n+1}u_n+u_n^2-3 \right)=\sqrt{u_{n}+2}- \sqrt{u_{n-1}+2}\ge 0.$ 

 

 

Lời giải 2:

 

Từ $\left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2 = \sqrt{2+u_n}-2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}$, ta chứng minh được $u_n>2 \forall n\in \mathbb{N}$ bằng phương pháp qui nạp.

 

Cũng từ đẳng thức trên ta có

$9[u_{n+1}-2] \le \left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}\le \frac{u_n-2}{4}.$

 

Do đó, $0<u_{n+1}-2\le \frac{1}{36} (u_n-2)$ với mọi $n\ge 1.$




#702236 tìm giới hạn của $\lim_{x \to \infty }(\sq...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-02-2018 - 13:17

Cho em hỏi cái căn bậc 4 anh trục như thế nào vậy ạ ?

 

Ta có hằng đẳng thức quen thuộc: $ a^4-b^4= (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3).$
Khi đó, với $a\eq \pm b$, ta sẽ có: $a-b= \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}$.

 

Thử với $a= \sqrt[4]{f(x)}$ và $b= g(x)$, ta có

$$ \sqrt[4]{f(x)}-g(x)= \frac{f(x)-[g(x)]^4}{ \sqrt[4]{[f(x)]^3}+ \sqrt[4]{[f(x)]^2}g(x)+ \sqrt[4]{f(x)}[g(x)]^2+[g(x)]^3}.$$

 

Có phải là thứ mà em cần tìm?




#702121 Xét sự hội tụ $\sum_{n=1}^{\infty }\l...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 23-02-2018 - 15:13

Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

$a)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( e-\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right )^p$

$b)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )^p\ln \frac{n-1}{n+1}$

$c)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln(\ln n) \right )^{\ln n}}$

$d)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln n \right )^{\ln\left ( \ln n \right )}}$

$e)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p\ln ^qn}$

$f)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2}+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}$ ($n$ dấu căn)

 

a), b), e) "giá trị" $p$ như thế nào?

 

f) Gõ đề đúng không hongson?

Và (c, d) cũng thế! Chú ý giá trị bắt đầu  $1$ nhen!!




#702099 tìm giới hạn của $\lim_{x \to \infty }(\sq...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 23-02-2018 - 01:40

Chèn $-x, x$  vào  để tính toán nhưng tính toán rất khiếp (cồng kềnh thôi) chứ không phức tạp!

 

 

$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

 

Xét $f(x) =\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}, g(x)= \sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2}.$

Một số nhận xét:

i) $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \lim_{x\to -\infty} \frac{g(x)}{x}=-1.$

ii) Với điều kiện thích hợp, ta có các đẳng thức sau

$$ f(x)-x = \frac{2x^2+1}{[f(x)]^2+xf(x)+x^2}= \dfrac{2+\frac{1}{x^2}}{\left[ \frac{f(x)}{x}\right]^2+\frac{f(x)}{x}+1},$$

$$ g(x)- (-x) = \frac{3x^3+2}{[g(x)]^3-x[f(x)]^2+x^2f(x)-x^3}= \dfrac{3+\frac{1}{x^3}}{\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^3-\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^2+\frac{g(x)}{x}-1},$$

 

iii) Từ (i) và (ii), ta có 

$\lim_{x\to- \infty} [f(x)-x]=\frac{2}{3},$ và $\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=-\frac{3}{4}.$

 

Suy ra $\lim_{x\to -\infty} [f(x)+g(x)]= \lim_{x\to -\infty} [f(x)-x]+\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{12}.$




#702097 Help me

Gửi bởi An Infinitesimal trong 23-02-2018 - 01:15

Cho dãy số (un) xác định bởi SHTQ un=$\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$

CMR: u1+u2+u3+...+un<$\frac{n}{n+1}$

Sử dụng $u_{k} \le \frac{1}{\sqrt{k(k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$




#702030 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-02-2018 - 20:06

Cảm ơn huynh đài ^^!
Huynh có thể chỉ cho đệ rằng nếu gặp một số hệ khác đưa về pt t=x/y xấu thì có kinh nghiệm gì & phương pháp gì  để giải không ạ ^^
Ví Dụ đệ gặp bài hệ này  $\left\{\begin{matrix}
4x^2+y^2=5 &  & \\
 15y^4+y^4+12x^2y^2-40xy=0&  &
\end{matrix}\right.$  đệ cũng đưa về đ.c đồng bậc 4 nhưng  k bt làm thế nào nữa @[email protected]
 

 

Có phải em gõ nhầm ở PT thứ 2 không?




#701974 $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-02-2018 - 23:17

Thêm một hướng tiếp cận khác: Hệ này là hệ phương trình đẳng cấp.

 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0\\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0\\ \end{matrix}\right.$

P/s: Bài này mình có thấy một lời giải là pt (1) + pt(2).3 nhưng mình vẫn không hiểu được làm sao để biết nhân 3 vào 2 vế pt (2). Nếu các bạn cũng giải theo cách như vậy thì giải thích giúp mình với ạ!!

Đổi biến $x=\frac{u+v}{2}, y=\frac{u-v}{2}.$

Hệ phương trình tương đương

$\left\{\begin{matrix} u^3 - v^3 + 35=0\\ 3u^2 + 9u + 2v^2 - 4v=0.\end{matrix}\right.$

 

Liên kết với $(u+3)^3, (v-2)^3$, ta sử dụng: $PT1+3\times PT(2)$: $(u+3)^3-(v-2)^3=0.$

 

Phần còn lại không phức tạp mấy!




#701969 đề thi hsg huyện thái bình 2107

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-02-2018 - 22:53

ai giúp mình câu hệ , cảm ơn!!!

 

Câu hệ:

 

Giải bằng đại số thông thường rất phức tạp. Lời giải xem tại:

(Đề khác một tí!)

 

Bài 87: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{3}-3xy^{2}-x+1=y^{2}-2xy-x^{2} \\ &y^{3}-3yx^{2}+y-1=y^{2}+2xy-x^{2} \end{matrix}\right.$

https://diendantoanh...ình-vmf/page-12

 

Lời giải bằng số phức:

 

Các thành phần $x^3-3xy^2,- y^3+3x^2y$ liên quan phần thực và phần ảo của số phức $z^3$, với $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

Và các thành phần $x^2-y^2,2xy$ liên quan phần thực và phần ảo của số phức $z^2$, với $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

Đặt $z=x+ i y, x, y\in \mathbb{R}.$

$PT(1)- i \times PT(2)$, ta có

$z^3-z+1+i=z^2+iz^2.$

$\iff (z^2-1)(z-1-i)=0.$

...

Giải giữa chừng mới thấy kinh hoàng khi bài này dành cho lớp 9!!!!




#701965 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-02-2018 - 22:44

 

xet pt $(2) \iff 2x^2=2+2xy^3 \iff x^2-y^2=2xy^3 (3)$
Nhận vế của pt$(1)$ voi $(3)\iff (x^2-y^2)(x^2+y^2)=4xy^3$
................................................................................................

 

Tiếp cận này cho cần giải PT bậc 4 theo $t=\frac{x}{y}$ "đẹp".

Ngược lại, hướng tiếp cận bên dưới  dẫn đến giải PT bậc 4 khó hơn!

 

 

Đặt $a=x^2, b=y^2$, Hệ không hoàn toàn theo $a, b:$

\begin{cases} \begin{matrix} a+b=2,\\ a-xy b=1. \end{matrix}\end{cases}

Khi đó, $a=\frac{2 xy + 1}{xy + 1}, b=\frac{1}{xy+1}.$

Từ đó, ta dẫn về phương trình theo $xy$:

$(xy)^2=ab= \frac{2 xy + 1}{xy + 1}.\frac{1}{xy+1}.$

Đặt $t=xy,$ ta có

$$ t^4 + 2t^3 + t^2 - 2t - 1=0.$$




#701959 $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-02-2018 - 21:36

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0\\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0\\ \end{matrix}\right.$

P/s: Bài này mình có thấy một lời giải là pt (1) + pt(2).3 nhưng mình vẫn không hiểu được làm sao để biết nhân 3 vào 2 vế pt (2). Nếu các bạn cũng giải theo cách như vậy thì giải thích giúp mình với ạ!!

 

Thêm một hướng tiếp cận khác: Hệ này là hệ phương trình đẳng cấp.