An Infinitesimal

Xét tính hội tụ của chuỗi: $\sum_{1}^{\infty}\left ( \frac{n-1}{n+1} \right )^{\sqrt{n^4+3n+1}}$

Bạn ơi cho mình hỏi là phần này bạn học như thế nào đấy. Mình tuy hiểu lý thuyết song lại không giải được bài tập. Nhưng khi đọc giải thì vẫn hiểu một chút nhưng hơi máy móc

Bạn thử liên kết bài toán với các kết quả cơ bản xem sao. Bài tập là một thể hiện nhỏ của nội dung lý thuyết.

 

 

 

 

Bài 2: Có lẽ bạn gõ hàm $f_n$ sai. Có lẽ là $f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}\chi _{A_k}.$

 

Với mỗi $ x\in (0,1).$  tồn tại n: $x\in A_n$, khi đó $f_k(x)=\sqrt{n} =f(x) \forall k \ge n$, dễ thấy $\{f_n(x)\}$ là dãy tăng với mỗi $x$ cố định. Suy ra a)

b) Dùng ĐL hội tụ đơn điệu, ta có

$$\int_{\mathbb{R}}fd\mu = \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f_nd\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}<\infty.$$

c) Ta có 

$$\int_{\mathbb{R}}f^2d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f_n^2d\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)}=\infty.$$ Suy ra đpcm.

Nếu vậy $\int_{[0,1]}f_nd\mu = \frac{1}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{k}=\infty.$

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n+1}$

Mong mn giúp đỡ ạ

1) cho hàm $f(x)=\left\{\begin{matrix} & x^2+x+1+e^{3x} \quad x\in \textbf{R}-\mathbf{Q}\\ &1 \quad x\in\mathbf{Q} \end{matrix}\right.$

chứng minh f khả tích Lebesgue nhưng không khả tích Rienman

Tính tích phân Lebesgue của f trên [0,1]

2) 

cho $f(x)=\left\{\begin{matrix} 0\quad x\notin [0,1)& \\ \sqrt{n} \quad x\in \mathit{A_n}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \end{matrix}\right.$

ta đặt $f_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}\chi _{A_n}$

a)chứng minh $f_n$ tăng tới f

b)chứng mnh f khả tích trên R và tính $\int_{\mathbb{R}}fd\mu$ ở đó $\mu$ là độ đo lebesgue trên $\mathbb{R}$

c)chứng minh $f^{2}$ không khả tích trên  $\mathbb{R}$

Bài 1: Xét tính khả tính L và R trên $[0,1]$ phải không?

Dùng nhận xét sau để c/m:

Nếu $P$ là đa thức hệ số nguyên thì với $a, b \in \mathbb{R}, P(b)-P(a) \vdots (b-a).$

Try for 2x2 matrices first and be lucky!.   ..

That is simple but that is the best  method of thinking!

Tại sao trường hợp 2 $x\ge 2$  vậy?

Vì $\sqrt{x-1}-1 = \sqrt{x(x-1)} \ge 0.$

Câu đầu, ta có

pt $<=> (\sqrt{x-1} -1)^2 -(x-1)\sqrt{x} + \sqrt{x(x-1)} =0$

Đặt $ \sqrt{x}=u, \sqrt{x-1}=v $

Suy ra 

$(v-1)^2 -v^2u+uv=0 $

Viết phương trình bậc $2$ theo $v$, suy ra $v=\frac{1}{2}; v(1-u)=1$ Đến đây dễ rồi

Điều kiện: $x\ge 1.$

$ (\sqrt{x-1} -1)^2 -(x-1)\sqrt{x} + \sqrt{x(x-1)} =0$

giả sử f và g có đạo hàm trên (a,b) với f©=g© c thuộc (a,b). nếu f'(x)<=g'(x) cho x thuộc [c,b), cmr f(x)<=g(x)cho x thuộc [c,b). điều ngược lại có đúng hay không , giải thich?

 

giả sử hàm f có đạo hàm trên (a,b) và f' bị chặn trên (a,b) . cmr f liên tục đều

Dùng định lý Lagrange để suy ra tồn tại số thực $M$ sao cho

$$|f(x)-f(y)|\le M|x-y| \forall x, y \in (a,b).$$

Do đó f liên tục đều.

giả sử f và g có đạo hàm trên (a,b) với f(c)=g(c) c thuộc (a,b). nếu f'(x)<=g'(x) cho x thuộc [c,b), cmr f(x)<=g(x)cho x thuộc [c,b). điều ngược lại có đúng hay không , giải thich?

Bạn thử nghiệm với hai hàm sau $f(x)=x^2+2015, g(x)=x^2$.

Câu d)

Nhận xét: với $x=\frac{1}{2}, VT=1=VP.$

ĐK: $0<x\le 1.$

PT tương đương

$$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{x}}-1=\frac{2x+x^2}{1+x^2}-1,$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{1-2x}{\sqrt{x(1-x)}+x}=\frac{2x-1}{1+x^2},$$

$$\Leftrightarrow {1-2x}=0.$$

Đa thức đặt trưng của ma trận cấp4 thì làm sao tìm mãi trên mạng mà ko thấy nên lên đây hỏi mọi người với lại Det như thế này thì tính thế nào

$P_{A}(\lambda)= \det(A-\lambda I_4)= \lambda^4-7\lambda^3+11\lambda^2+7\lambda-12.$

(Nhờ định thức tương ứng có rất nhiều số 0 nên khai triển định thức theo  bất kỳ dòng hay cột nào cũng cho kết quả và tính toán rất đơn giản.)

Nhờ vào Định lý Caley-Hamilton, $P_A$ là đa thức triệt tiêu ma trận A, nghĩa là $P_{A}(A)=0$.

Khi đó

$A^4-7A^3+12A^2+I_4 =A^2-7A+13I_4 =(A-\lambda_1 I_4)(A-\lambda_2 I_4)$ với