Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#604467 Giải phương trình \sqrt{\frac{1-x}{x}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 21-12-2015 - 19:41

Câu d)

Nhận xét: với $x=\frac{1}{2}, VT=1=VP.$

ĐK: $0<x\le 1.$

PT tương đương

$$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{x}}-1=\frac{2x+x^2}{1+x^2}-1,$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{1-2x}{\sqrt{x(1-x)}+x}=\frac{2x-1}{1+x^2},$$

$$\Leftrightarrow {1-2x}=0.$$




#604229 Tìm đa thức đặc trưng của ma trận cấp 4 và tính det

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-12-2015 - 18:59

Đa thức đặt trưng của ma trận cấp4 thì làm sao tìm mãi trên mạng mà ko thấy nên lên đây hỏi mọi người với lại Det như thế này thì tính thế nào

 

$P_{A}(\lambda)= \det(A-\lambda I_4)= \lambda^4-7\lambda^3+11\lambda^2+7\lambda-12.$

 

(Nhờ định thức tương ứng có rất nhiều số 0 nên khai triển định thức theo  bất kỳ dòng hay cột nào cũng cho kết quả và tính toán rất đơn giản.)

 

Nhờ vào Định lý Caley-Hamilton, $P_A$ là đa thức triệt tiêu ma trận A, nghĩa là $P_{A}(A)=0$.

Khi đó

 

 

$A^4-7A^3+12A^2+I_4 =A^2-7A+13I_4 =(A-\lambda_1 I_4)(A-\lambda_2 I_4)$ với 

 

$\begin{cases} \lambda_1=\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{2},\\\lambda_2= \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}\, \mathrm{i}}{2}. \end{cases}$
Do đó
$$\det(A^4-7A^3+12A^2+I_4) = \det((A-\lambda_1 I_4))\det(A-\lambda_2 I_4) = P_A(\lambda_1)P_A(\lambda_2)= \left|P_A(\lambda_1)\right|^2.$$



#604082 1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 19-12-2015 - 22:53

1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR $b=x^{2015}+\frac{1}{x^{2015}}$ nguyên
2)CMR nếu hiệu lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp là bình phương của 1 số tự nhiên thì số tự nhiên này có thể viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp
3)Cho 2 số tự nhiên a và b.CMR a)nếu a.b là số tự nhiên chẵn thì tồn tại các số tự nhiên c,d sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$
b)Nếu a.b lẻ thì sao?

 

1) Vì $x, \frac{1}{x}$ là nghiệm phương trình $X^2-aX+1=0$.

 

Đặt $S_n= x^n+\frac{1}{x^n}$. Khi đó $S_{n}=aS_{n-1}-S_{n-2}.$

Ta có $S_1, S_2=a^2-2\in \mathbb{Z}$ nên $S_n \in \mathbb{Z} \, \forall n \in \mathbb{N}.$

 

2) $(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1= d^2.$

Suy ra $(2d)^2= 3(2n+1)^2+1$

$(2d)^2-3(2n+1)^2=1.$

 

Dẫn đến pt Pell (!!!)

3)

a) Đặt $a=2a', b=2b'$, khi đó $d^2-c^2=2.2(a'^2+b'^2).$ Chọn $\begin{cases} d-c=2,\\ d+c=2(a'^2+b'^2)\end{cases}.$

b) Nếu $a, b$ lẻ thì không tồn tại $c, d$ vì $a^2+b^2$ chia 4 dư 2, trong khi đó $x^2-y^2$ chia 4 dư 0, 1, 3 với $x, y\in \mathbb{N}$.




#603806 Tính khả vi và tính liên tục

Gửi bởi An Infinitesimal trong 18-12-2015 - 20:08

Cho ví dụ về f liên tục đều (a,b) f có đạo hàm nhưng f´ không bị chặn?? Giải thích?

Dùng "sự kiện" $g(x)= \frac{1}{x^{\alpha}}$  với $\alpha>0$ không bị chặn trên $(0,1)$ để chọn $f$.

 

Lấy $f(x)=2\sqrt{x}, x\in (0,1)$ liên tục đều và có  $f'(x)$ không bị chặn. 




#603722 $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 18-12-2015 - 10:57

Cho $f:[a,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả tích trên mọi khoảng $[a,x],\forall x>a$. Giả sử rằng $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0$. Chứng tỏ rằng $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ.

Không mất tổng quát, ta giả sử $\alpha>0$, khi đó với $M$ đủ lớn, ta có $f(x)>\frac{\alpha}{2}>0 \forall x\in (M, \infty)$.  
Khi đó 
$$\int_{M}^{+\infty }f(x)dx \ge \int_{M}^{+\infty }\frac{\alpha}{2}dx=\infty.$$
 
Suy ra điều phải chứng minh.



#603719 Tính khả vi và tính liên tục

Gửi bởi An Infinitesimal trong 18-12-2015 - 10:24

Mọi người giải thích cho em cái này với ạ!
"Nếu hàm f liên tục tại điểm a thì f khả vi tại điểm đó."
Tại sao phát biểu này lại sai ạ?

 

Một thí dụ kinh điển: Xét $f(x)=|x|, a=0$, khi đó $f$ liên tục tại $a=0$ nhưng không khả vi tại đó.

(Bạn có thể tự kiểm tra!)




#603302 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-12-2015 - 11:09

Nếu cái $d_{k,k}$ nó âm rồi sao bạn

Vì chọn $C$ là ma trận có hệ số phức nên $d_{k,k} <0$ cũng không có vấn đề.




#603274 Chứng minh rank(A-C)+rank(B-C)=n

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 22:56

Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.

 

Đặt ${A}_1= AC, \, {B}_1=BC$, ta có

$\begin{cases} A_1B_1=-2I_n,\\ A_1+B_1=-I_n. \end{cases}$

Do $C$ khả nghịch nên điều cần tương đương $rank(A_1-I_n)+rank(B_1-I_n)=n.$

 

Đặt $B_2=  B_1-I_n,  A_2= A_1-I_n,$ ta có

$\begin{cases} A_2B_2=\mathbf{0},\\ A_2+B_2=-3I_n. \end{cases}$

Đặt $V, W$ lần lượt là không gian dòng $A_2, B_2$, ta có

$dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V\bigcap W).$

 

Vì $n \ge dim(V+W) \ge rank(A_2+B_2)=n$ nên $dim(V+W) =n$.

Do đó $dim(V)+dim(W)\ge n$ hay $rank(A_2)+ran(B_2)\ge n.$

 

 

Mặt khác, vì $A_2B_2=\mathbf{0}$ nên $Im(B_2) \subset Ker(A_2)$ (tạm ký hiệu: không gian nghiệm của $A_2X=\mathbf{0}.$) 

Suy ra $rank(B_2) \le n- rank(A_2).$

 

Vậy $$rank(A_2)+ran(B_2)= n.$$




#603217 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 20:51

 

Nhờ mọi người giải giúp

Bài 4 : Cho ma trận : $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 &0 \\ 1& 2& -1& -1&0 \\ 0& 0 & 1 &4 &0 \\ 2 & 4 & 1 &10 &1 \end{bmatrix}$ 

a ) Gọi B là ma trận hình thang rút gọn của A . Tìm ma trận khả nghịch P sao cho $PA=B$ 

b ) Ma trận $Y \left ( 4\times 1 \right )$ thỏa mãn điều kiện nào để hệ phương trình tuyến tính $AX=Y$ 

 

Bài 4: Bạn tự làm được?! Dùng thuật toán Gauss-Jordan!

 

 

Bài 1:

 

Một kết quả xuất hiện liên quan đại số tuyến tính và đại số đại cương.

Khi $I_n-AB$, người ta chỉ ra rằng $I_n-BA$  cũng khả nghịch. Hơn nữa $(I_n-BA)^{-1}=C:= I_n+B(I_n-AB)^{-1}A$.

"Hơn nữa" đã giải thoát tất cả các khó khăn bằng cách kiểm tra $(I_n-BA)C=C(I_n-BA)=I_n$ (điều này đơn giản!).

 

 

 

------------------------------------------------------------------------------------------------

Nháp (Bài 1): (Thử một hướng khác: c/m: $\det(I_n-AB)=\det(I_n-BA)$? (đã đúng với $n=2, 3$))

Đặt $E=AB,\, F= BA,\, E_1=E-I_n,\, F_1=F-I_n,$ 

Ta có $\det(E)=\det(F).$

$$\det(E_1) = \det{E}-\sum_{\sigma \in S_n: \exists j: \sigma_j=j} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^nE _{i,\sigma_i},$$

$$\det(F_1) = \det{F}-\sum_{\sigma \in S_n: \exists j: \sigma_j=j} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n F_{i,\sigma_i}.$$




#603128 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 12:43

Bài 2 : Cho V là không gian vector thực $F:V\rightarrow R^{2}$ là ánh xạ tuyến tính . Gọi W là tập hợp con bao gồm tất cả các vector v của V thỏa mãn điều kiện F(v) = 0 . Giả sử $W\neq V$ và $v_{1} ; v_{2}$ là hai vector thuộc V thỏa mãn điều kiện $W_{2}\cap W={0};dimW_{2}=2$ trong đó $W_{2}=Span{v_{1};v_{2}}$ . Chứng minh rằng , mọi vector v của V đều biểu diễn được dưới dạng tổng $w+\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}$ trong đó $w\in W;\alpha _{1};\alpha _{2}\in \mathbb{R}$ 

 

Vì $dim {KerF}+2 = dim {W \bigcup W_2} \le dim {V}=dim {KerF}+dim{Im(F)}$ với  $dim {Im(F)} \le dim {\mathbb{R}}=2$.Suy ra $W_2 \oplus W = V.$ Suy ra đpcm.



#603126 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 12:18

 

 

Bài 3 : Cho A là ma trận đối xứng với các hệ số thực . Chứng minh rằng tồn tại ma trận với các hệ số phức B sao cho $B^{2}=A$ 

 

 

Vì $A$ là ma trận thực đối xứng nên nó chéo hóa được, nghĩa là tồn tại ma trận đường chéo $D$  và ma trận khả nghịch $B$ sao cho $P^{-1}AP=D.$

 

Ta chọn $C$ là ma trận đường chéo sao cho $c_{k,k}^2 =d_{k,k} \, \forall k=1, 2, ..., n.$
Khi đó chọn $B= P^{-1}DP$, ta có $B^2=A.$



#602952 5/ $\left\{\begin{matrix} y+xy^2=-6x^2...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-12-2015 - 13:04

 

4/ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2y+6}=8x^4-8x^2+3 & \\ \frac{5+\sqrt{x-2y+6}}{1+\sqrt{x-2y+6}}=2x^2 & \end{matrix}\right.$

 

5/ $\left\{\begin{matrix} y+xy^2=-6x^2 & \\ 1+x^3y=19x^3 & \end{matrix}\right.$

 

6/ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{11+x-y}-\sqrt{y-x}=1 & & \\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài 4+6) Đặt $u=\sqrt{x-2y+6}+1$, ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} u=2(2x^2-1)^2 & \\ \frac{4}{u}=2x^2-1 & \end{matrix}\right.$

Phương pháp thế xử lý cả 2.

 
Bài 5: Khả năng gõ đề sai rất cao!



#602843 Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^3-2xy+5...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 12-12-2015 - 22:33

 

5. $\left\{\begin{matrix} x^2(y+1)=6y-2 & \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 & \end{matrix}\right.$

 

bài 5 sao ạ ....

Bài dã man!!! Mình cũng dùng cách dã man để xử lý.

(Nhận xét bộ $(x,y)$ thỏa $x^2=2, y=1$ là 2 nghiệm của hệ!)

 

Từ phương trình thứ nhất, ta có $x^2+1= \frac{7y-1}{y+1},$, (đk: $ y\neq -1$).$

Phương trình thứ hai tương đương $$y^2(x^4+2x^2)+y(x^2+1)=12y^2-1,$$

$$\Leftrightarrow [y(x^2+1)]^2+y(x^2+1)=13y^2-1.$$

 

Suy ra

$$\left(\frac{7y^2-y}{y+1}\right)^2+\frac{7y^2-y}{y+1}=13y^2-1.$$

 

$$\Leftrightarrow (y - 1)(3y - 1)(12y^2 + 5y + 1)=0.$$




#602744 Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^3-2xy+5...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 12-12-2015 - 12:25

1. $\left\{\begin{matrix} y^2-xy+1=0 & \\ x^2+y^2+2x+2y+1=0 & \end{matrix}\right.$

 

2. $\left\{\begin{matrix} x^3-2xy+5y=7 & \\ x^2+y^2+2x+2y+1=0 & \end{matrix}\right.$

 

3. $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2x+2y=16 & \\ (x+y)(xy+4)=32 & \end{matrix}\right.$

 

4. $\left\{\begin{matrix} 2x^3+y(x+1)=4x^2 & \\ 5x^4-4x^6=y^2 & \end{matrix}\right.$

 

5. $\left\{\begin{matrix} x^2(y+1)=6y-2 & \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 1 và 2), từ phương trình thứ 2 của mỗi phương trình, ta suy ra $-1\le x,y \le 0$.

Suy ra

(*) $y^2-xy+1 \ge 1-xy\ge 0$. Và dấu bằng không xảy ra.

(*) $x^3-2xy+5y \le -2xy+5y \le 7$.  Và dấu bằng không xảy ra.

Từ đó, suy ra hệ (1) và hệ (2) vô nghiệm.

 

Bài 3: Phương trình thứ nhất được viết lại: $(x+y)(x+2)=16$.

Suy ra $2(x+2)=xy+4$. Do đó $x=0$ hoặc $y=2$.

 

Bài 4: Hệ tương đương $\left\{\begin{matrix} 2x^3+y=4x^2-xy & \\4x^6+^2=5x^4 & \end{matrix}\right.$

Suy ra

$5x^4= (2x^3+y)^2-4x^3y= (4x^2-xy)^2-4x^3y,$

hay phương trình đẳng cấp $x^2(y^2-12xy+11x^2)=0.$

 

Bài 5: ....




#601789 Không sử dụng máy tính chứng minh phương trình có 5 nghiệm

Gửi bởi An Infinitesimal trong 05-12-2015 - 21:09

Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh phương trình sau có đúng năm nghiệm:

$x^5-\frac{1}{2}x^4-5x^3+x^2+4x-1=0$

Xét $ f(x):=x^5-\frac{1}{2}x^4-5x^3+x^2+4x-1 $ liên tục thỏa

Ta có

$f(-2)<0$

$f(-\frac{3}{2})>0,$

$f(0)<0,$

$f(\frac{1}{2})>0,$

$f(1)<0,$

$f(3)>0.$

Suy ra phương trình có ít nhất 5 nghiệm phân biệt.