Đến nội dung

An Infinitesimal

An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#604082 1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 19-12-2015 - 22:53

1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR $b=x^{2015}+\frac{1}{x^{2015}}$ nguyên
2)CMR nếu hiệu lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp là bình phương của 1 số tự nhiên thì số tự nhiên này có thể viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp
3)Cho 2 số tự nhiên a và b.CMR a)nếu a.b là số tự nhiên chẵn thì tồn tại các số tự nhiên c,d sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$
b)Nếu a.b lẻ thì sao?

 

1) Vì $x, \frac{1}{x}$ là nghiệm phương trình $X^2-aX+1=0$.

 

Đặt $S_n= x^n+\frac{1}{x^n}$. Khi đó $S_{n}=aS_{n-1}-S_{n-2}.$

Ta có $S_1, S_2=a^2-2\in \mathbb{Z}$ nên $S_n \in \mathbb{Z} \, \forall n \in \mathbb{N}.$

 

2) $(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1= d^2.$

Suy ra $(2d)^2= 3(2n+1)^2+1$

$(2d)^2-3(2n+1)^2=1.$

 

Dẫn đến pt Pell (!!!)

3)

a) Đặt $a=2a', b=2b'$, khi đó $d^2-c^2=2.2(a'^2+b'^2).$ Chọn $\begin{cases} d-c=2,\\ d+c=2(a'^2+b'^2)\end{cases}.$

b) Nếu $a, b$ lẻ thì không tồn tại $c, d$ vì $a^2+b^2$ chia 4 dư 2, trong khi đó $x^2-y^2$ chia 4 dư 0, 1, 3 với $x, y\in \mathbb{N}$.




#603806 Tính khả vi và tính liên tục

Gửi bởi An Infinitesimal trong 18-12-2015 - 20:08

Cho ví dụ về f liên tục đều (a,b) f có đạo hàm nhưng f´ không bị chặn?? Giải thích?

Dùng "sự kiện" $g(x)= \frac{1}{x^{\alpha}}$  với $\alpha>0$ không bị chặn trên $(0,1)$ để chọn $f$.

 

Lấy $f(x)=2\sqrt{x}, x\in (0,1)$ liên tục đều và có  $f'(x)$ không bị chặn. 




#603722 $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 18-12-2015 - 10:57

Cho $f:[a,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả tích trên mọi khoảng $[a,x],\forall x>a$. Giả sử rằng $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0$. Chứng tỏ rằng $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ.

Không mất tổng quát, ta giả sử $\alpha>0$, khi đó với $M$ đủ lớn, ta có $f(x)>\frac{\alpha}{2}>0 \forall x\in (M, \infty)$.  
Khi đó 
$$\int_{M}^{+\infty }f(x)dx \ge \int_{M}^{+\infty }\frac{\alpha}{2}dx=\infty.$$
 
Suy ra điều phải chứng minh.



#603719 Tính khả vi và tính liên tục

Gửi bởi An Infinitesimal trong 18-12-2015 - 10:24

Mọi người giải thích cho em cái này với ạ!
"Nếu hàm f liên tục tại điểm a thì f khả vi tại điểm đó."
Tại sao phát biểu này lại sai ạ?

 

Một thí dụ kinh điển: Xét $f(x)=|x|, a=0$, khi đó $f$ liên tục tại $a=0$ nhưng không khả vi tại đó.

(Bạn có thể tự kiểm tra!)




#603302 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 15-12-2015 - 11:09

Nếu cái $d_{k,k}$ nó âm rồi sao bạn

Vì chọn $C$ là ma trận có hệ số phức nên $d_{k,k} <0$ cũng không có vấn đề.




#603274 Chứng minh rank(A-C)+rank(B-C)=n

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 22:56

Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.

 

Đặt ${A}_1= AC, \, {B}_1=BC$, ta có

$\begin{cases} A_1B_1=-2I_n,\\ A_1+B_1=-I_n. \end{cases}$

Do $C$ khả nghịch nên điều cần tương đương $rank(A_1-I_n)+rank(B_1-I_n)=n.$

 

Đặt $B_2=  B_1-I_n,  A_2= A_1-I_n,$ ta có

$\begin{cases} A_2B_2=\mathbf{0},\\ A_2+B_2=-3I_n. \end{cases}$

Đặt $V, W$ lần lượt là không gian dòng $A_2, B_2$, ta có

$dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V\bigcap W).$

 

Vì $n \ge dim(V+W) \ge rank(A_2+B_2)=n$ nên $dim(V+W) =n$.

Do đó $dim(V)+dim(W)\ge n$ hay $rank(A_2)+ran(B_2)\ge n.$

 

 

Mặt khác, vì $A_2B_2=\mathbf{0}$ nên $Im(B_2) \subset Ker(A_2)$ (tạm ký hiệu: không gian nghiệm của $A_2X=\mathbf{0}.$) 

Suy ra $rank(B_2) \le n- rank(A_2).$

 

Vậy $$rank(A_2)+ran(B_2)= n.$$




#603217 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 20:51

 

Nhờ mọi người giải giúp

Bài 4 : Cho ma trận : $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 &0 \\ 1& 2& -1& -1&0 \\ 0& 0 & 1 &4 &0 \\ 2 & 4 & 1 &10 &1 \end{bmatrix}$ 

a ) Gọi B là ma trận hình thang rút gọn của A . Tìm ma trận khả nghịch P sao cho $PA=B$ 

b ) Ma trận $Y \left ( 4\times 1 \right )$ thỏa mãn điều kiện nào để hệ phương trình tuyến tính $AX=Y$ 

 

Bài 4: Bạn tự làm được?! Dùng thuật toán Gauss-Jordan!

 

 

Bài 1:

 

Một kết quả xuất hiện liên quan đại số tuyến tính và đại số đại cương.

Khi $I_n-AB$, người ta chỉ ra rằng $I_n-BA$  cũng khả nghịch. Hơn nữa $(I_n-BA)^{-1}=C:= I_n+B(I_n-AB)^{-1}A$.

"Hơn nữa" đã giải thoát tất cả các khó khăn bằng cách kiểm tra $(I_n-BA)C=C(I_n-BA)=I_n$ (điều này đơn giản!).

 

 

 

------------------------------------------------------------------------------------------------

Nháp (Bài 1): (Thử một hướng khác: c/m: $\det(I_n-AB)=\det(I_n-BA)$? (đã đúng với $n=2, 3$))

Đặt $E=AB,\, F= BA,\, E_1=E-I_n,\, F_1=F-I_n,$ 

Ta có $\det(E)=\det(F).$

$$\det(E_1) = \det{E}-\sum_{\sigma \in S_n: \exists j: \sigma_j=j} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^nE _{i,\sigma_i},$$

$$\det(F_1) = \det{F}-\sum_{\sigma \in S_n: \exists j: \sigma_j=j} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n F_{i,\sigma_i}.$$




#603128 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 12:43

Bài 2 : Cho V là không gian vector thực $F:V\rightarrow R^{2}$ là ánh xạ tuyến tính . Gọi W là tập hợp con bao gồm tất cả các vector v của V thỏa mãn điều kiện F(v) = 0 . Giả sử $W\neq V$ và $v_{1} ; v_{2}$ là hai vector thuộc V thỏa mãn điều kiện $W_{2}\cap W={0};dimW_{2}=2$ trong đó $W_{2}=Span{v_{1};v_{2}}$ . Chứng minh rằng , mọi vector v của V đều biểu diễn được dưới dạng tổng $w+\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}$ trong đó $w\in W;\alpha _{1};\alpha _{2}\in \mathbb{R}$ 

 

Vì $dim {KerF}+2 = dim {W \bigcup W_2} \le dim {V}=dim {KerF}+dim{Im(F)}$ với  $dim {Im(F)} \le dim {\mathbb{R}}=2$.Suy ra $W_2 \oplus W = V.$ Suy ra đpcm.



#603126 Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai m...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-12-2015 - 12:18

 

 

Bài 3 : Cho A là ma trận đối xứng với các hệ số thực . Chứng minh rằng tồn tại ma trận với các hệ số phức B sao cho $B^{2}=A$ 

 

 

Vì $A$ là ma trận thực đối xứng nên nó chéo hóa được, nghĩa là tồn tại ma trận đường chéo $D$  và ma trận khả nghịch $B$ sao cho $P^{-1}AP=D.$

 

Ta chọn $C$ là ma trận đường chéo sao cho $c_{k,k}^2 =d_{k,k} \, \forall k=1, 2, ..., n.$
Khi đó chọn $B= P^{-1}DP$, ta có $B^2=A.$



#602952 5/ $\left\{\begin{matrix} y+xy^2=-6x^2...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-12-2015 - 13:04

 

4/ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2y+6}=8x^4-8x^2+3 & \\ \frac{5+\sqrt{x-2y+6}}{1+\sqrt{x-2y+6}}=2x^2 & \end{matrix}\right.$

 

5/ $\left\{\begin{matrix} y+xy^2=-6x^2 & \\ 1+x^3y=19x^3 & \end{matrix}\right.$

 

6/ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{11+x-y}-\sqrt{y-x}=1 & & \\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài 4+6) Đặt $u=\sqrt{x-2y+6}+1$, ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} u=2(2x^2-1)^2 & \\ \frac{4}{u}=2x^2-1 & \end{matrix}\right.$

Phương pháp thế xử lý cả 2.

 
Bài 5: Khả năng gõ đề sai rất cao!



#602843 Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^3-2xy+5...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 12-12-2015 - 22:33

 

5. $\left\{\begin{matrix} x^2(y+1)=6y-2 & \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 & \end{matrix}\right.$

 

bài 5 sao ạ ....

Bài dã man!!! Mình cũng dùng cách dã man để xử lý.

(Nhận xét bộ $(x,y)$ thỏa $x^2=2, y=1$ là 2 nghiệm của hệ!)

 

Từ phương trình thứ nhất, ta có $x^2+1= \frac{7y-1}{y+1},$, (đk: $ y\neq -1$).$

Phương trình thứ hai tương đương $$y^2(x^4+2x^2)+y(x^2+1)=12y^2-1,$$

$$\Leftrightarrow [y(x^2+1)]^2+y(x^2+1)=13y^2-1.$$

 

Suy ra

$$\left(\frac{7y^2-y}{y+1}\right)^2+\frac{7y^2-y}{y+1}=13y^2-1.$$

 

$$\Leftrightarrow (y - 1)(3y - 1)(12y^2 + 5y + 1)=0.$$




#602744 Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^3-2xy+5...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 12-12-2015 - 12:25

1. $\left\{\begin{matrix} y^2-xy+1=0 & \\ x^2+y^2+2x+2y+1=0 & \end{matrix}\right.$

 

2. $\left\{\begin{matrix} x^3-2xy+5y=7 & \\ x^2+y^2+2x+2y+1=0 & \end{matrix}\right.$

 

3. $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2x+2y=16 & \\ (x+y)(xy+4)=32 & \end{matrix}\right.$

 

4. $\left\{\begin{matrix} 2x^3+y(x+1)=4x^2 & \\ 5x^4-4x^6=y^2 & \end{matrix}\right.$

 

5. $\left\{\begin{matrix} x^2(y+1)=6y-2 & \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 1 và 2), từ phương trình thứ 2 của mỗi phương trình, ta suy ra $-1\le x,y \le 0$.

Suy ra

(*) $y^2-xy+1 \ge 1-xy\ge 0$. Và dấu bằng không xảy ra.

(*) $x^3-2xy+5y \le -2xy+5y \le 7$.  Và dấu bằng không xảy ra.

Từ đó, suy ra hệ (1) và hệ (2) vô nghiệm.

 

Bài 3: Phương trình thứ nhất được viết lại: $(x+y)(x+2)=16$.

Suy ra $2(x+2)=xy+4$. Do đó $x=0$ hoặc $y=2$.

 

Bài 4: Hệ tương đương $\left\{\begin{matrix} 2x^3+y=4x^2-xy & \\4x^6+^2=5x^4 & \end{matrix}\right.$

Suy ra

$5x^4= (2x^3+y)^2-4x^3y= (4x^2-xy)^2-4x^3y,$

hay phương trình đẳng cấp $x^2(y^2-12xy+11x^2)=0.$

 

Bài 5: ....




#601789 Không sử dụng máy tính chứng minh phương trình có 5 nghiệm

Gửi bởi An Infinitesimal trong 05-12-2015 - 21:09

Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh phương trình sau có đúng năm nghiệm:

$x^5-\frac{1}{2}x^4-5x^3+x^2+4x-1=0$

Xét $ f(x):=x^5-\frac{1}{2}x^4-5x^3+x^2+4x-1 $ liên tục thỏa

Ta có

$f(-2)<0$

$f(-\frac{3}{2})>0,$

$f(0)<0,$

$f(\frac{1}{2})>0,$

$f(1)<0,$

$f(3)>0.$

Suy ra phương trình có ít nhất 5 nghiệm phân biệt. 




#601702 Mọi người giúp mình làm bài xác suất này với...!

Gửi bởi An Infinitesimal trong 05-12-2015 - 09:58

Trước hết bạn tìm hàm mật độ hoặc hàm phân phối tích lũy  của biến ngẫu  nhiên $Y$.

 

  • Với $y<1, F_Y(y)=0;,$
  • Với $y\in [1,\sqrt{5}], F(Y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(|X|\le \sqrt{y^2-1})= \int_{-\sqrt{y^2-1}}^{\sqrt{y^2-1}}\frac{3}{16}x^2dx= \frac{1}{8}\sqrt{(y^2-1)^3};$
  • Với $y>\sqrt{5},  F_Y(y)=1.$ 

 

Khi đó $P(\sqrt{2}\le Y\le \sqrt{5})= F_{Y}(\sqrt{5})-F_{Y}(\sqrt{2}).$




#601550 Chứng minh nếu A mà ma trận vuông cấp n>1 có r(A)=n-1 thì r(A*)=1

Gửi bởi An Infinitesimal trong 04-12-2015 - 11:30

Cái trace là gì thế bạn ?

Mình mới biết det là định thức thôi.

À mình google thì ra cái trace(A) là tổng các phần tử đường chéo chính.

Nhưng bạn có thể chứng minh cho mình cái

$det(AB)=det(BA)$ và $trace(AB)=trace(BA)$

 được không ?, vì mình ko được áp dụng các cái này ngay mà phải cm bạn ạ.

 

1) $\det(AB)=\det(BA)$

Chắc chắn bạn đã có kết quả $\det(AB)=\det(A)\det(B).$ Dùng kết quả này suy ra điều phải chứng minh.

 

2)$trace(AB)=trace(BA)$

(trace(A) như bạn đã nói!)

 

$trac(AB)= \sum_{i=1}^{n}[AB]_{ii}= \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^n A_{i,k}B_{k,i}$,

và $trac(AB)= \sum_{k=1}^{n}[AB]_{kk}= \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^n B_{k,i}A_{i,k}.$

 

Mình cố tình đảo chỉ số để dễ nhận ra hai tổng ở trên bằng nhau.