An Infinitesimal

Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có:

$\sum_{n=1}^{\infty }q^n\sin na$ với $|q| < 1$

P.s: Help me!! Please!! 

Dùng tiêu chuẩn so sánh: $|q^n\sin {(na)}|\le |q|^n, n\in \mathbb{N}$, em sẽ chỉ ra chuỗi hội tụ.

Về tìm tổng chuỗi, em vai mượn một chuỗi khác hoặc nhận ra nó chính là phần ảo của một chuỗi phức.

Xét  chuỗi $R=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\cos {(na)}$ (dễ thấy chuỗi hội tụ). Đặt $I=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\sin {(na)}.$

Khi đó $R+ I.i=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\left(\cos {(na)}+i.\sin {(na)}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \left[q.e^{i.a}\right]^n=\frac{q e^{i a}}{1-qe^{ia}}.$

Khi đó, $I= Im \left( \frac{q e^{i a}}{1-qe^{ia}}\right). $

Em kiểm tra xem có chỗ nào sai sót không!

Cho $(U_{n})$ xác định bởi $u_{1}=sin1; u_{n}=u_{n-1}+\frac{\sin n}{n^2}; \forall n \geq 2$. Chứng minh rằng dãy số $\{u_{n}\}$ bị chặn

Vì

$u_n= u_1+ \sum_{k=2}^{n}\frac{\sin n}{n^2}, n\ge 2$ nên $$|u_n|\le |u_1|+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{n^2}<|u_1|+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{n(n-1)}<|u_1|+1,\quad n\ge 2.$$

Do đó, dãy $\{u_n\}$ bị chặn.

Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có:

$\sum_{n=1}^{\infty }q^n\sin na$ với $|q|\leqslant 1$

P.s: Help me!! Please!! 

$|q|<1$ hay $|q|\le 1$?

1/ Cho dãy số $\left \{ p(n) \right \}$ được xác định như sau : p(1) =1; $p(n)=p(1)+2p(2)+...+(n-1)p(n-1)$ với n$\geq 2$. Xác định p(n)?

2/ Dãy số thực $(x_{n}):\left\{\begin{matrix} x_{o}=a\\ x_{n+1}=2x_{n}^{2}+1 \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các giá trị của a để $x_{n}<0$  với $n\geq 0$ ?

3/ Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} a_{1}=\frac{1}{2}\\ a_{n}= \frac{a_{n-1}}{2na_{n-1}+1} \end{matrix}\right.$

Tính tổng $a_{1}+a_{2}+...+a_{1998}$?    

Bài 2: đề sai hoặc câu trả lời là "không tồn tại $a$ như thế"!

Bài 1: $p(n)=p(n-1)+(n-1)p(n-1)=np(n)=n!.$
 

Bài 3: Tính $a_n$ thông qua dãy truy hồi $\frac{1}{a_{n}}=2n+\frac{1}{a_{n-1}} $ (Cấp số cộng). 

Một hướng khác cho câu[1]. Cho $x_n$ thỏa mãn $\begin{cases}x_1=2\\x_{n+1}=\sqrt{n+8}-\sqrt{n+3}\end{cases}$

Không biết Cauchy kiểu gì để có $\sqrt{x_k+3}\ge \frac{x_k+3}{2}$ (điều này không đúng vì điều đó tương đương với $x_k\le 1$.)

Có thể khắc phục bằng cách dùng $x_n<x_3$ thì để có đpcm cần $x_3<\frac{3-t}{2}$ với $x_3=\sqrt{t+8}-\sqrt{t+3}.$

Chú ý $0<t=\sqrt{10}-\sqrt{5}<1$ nên biến đổi điều trên được $(1-t)\left(1+\frac{2}{\sqrt{t+8}+3}-\frac{2}{\sqrt{t+3}+2}\right)>0,$ đúng.

Em cảm ơn!

Em cũng làm công phu như vậy để chỉ ra $x_2+x_3<2$. Vì thế, $x_{2n}+x_{2n+1}<2.$

Một hướng tiếp cận bài 1.

Con số 1.01 như lời giải này được tìm ra (phát hiện ra đánh giá) như thế nào khi chúng ta không dùng máy tính nhỉ?

Cho dãy số $a_{n}$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=1 & \\ u_{n+1}=u_n^2+(1-2a)u_n+a^2& \end{matrix}\right.$. Xác định các giá trị của a và b để dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

Chẳng nhớ bài này đã xuất hiện ở chỗ nào trên VMF.
 

Cho dãy số xác định: $\left\{\begin{matrix} u(1)=\sqrt{2} & & \\ u(n+1)=\sqrt{2+u(n)} & & \end{matrix}\right.$
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Bạn nhận ra $ u_n\in [0,2], n\in \mathbb{N}$ chứ?

Nếu $u_n =2\cos\phi_n$ với $0<\phi_n<\frac{\pi}{2}, n\in \mathbb{N}$ thì $\\phi_{n+1}$ và $\phi_n$ có mối liên hệ gì?

Loạt bài toán cùng ý tưởng

https://diendantoanh...-0/#entry699804

https://diendantoanh...46-tìm-lim-u-n/

https://diendantoanh...092010sqrt4u-n/

https://diendantoanh...132014sqrt4u-n/

Hầu hết các bài toán này, người ta sử dụng kỹ thuật dãy phụ (dãy min-max) để giải.

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó 

Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$

Do đó, dãy  $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.

Đặt $b_n= u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n}$ và $b$ là giới hạn của dãy $\{b_n\}.$

Đặt $v_n=|u_n- \frac{b}{3}|, c_n=|b_n-b|,n\in \mathbb{N}.$

Suy ra $v_{n+1}\le \frac{1}{2} v_n+ c_n, n\in \mathbb{N}.$

Bổ đề giới hạn

 

Cho hai dãy số dương $ (a_{n}), (b_{n}) $ và số q thuộc [0;1) sao cho $ a_{n+1} \leq q.a_{n}+b_{n} $ với mọi số tự nhiên n. Khi đó nếu $ lim(b_{n})=0 $ thì $ lim(a_{n})=0 $.

Chứng minh xem tại  https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/

Từ bổ đề, chúng ta có dãy $\{v_{n}\}$ hội tụ về 0 và $\{u_n\}$ hội tụ. Từ hệ thức truy hồi, ta dễ dàng chỉ ra dãy $\{u_n\}$ hội tụ về 1.

P.S: Bài toán này đã tứng xuất hiện trong topic những bài toán dãy trên mathlink.ro nhưng lời giải khá phức tạp (không dùng Bổ đề giới hạn).

$\sqrt (x+2)+x^2-x+2<=\sqrt(3x-2)$ . Mọi người giúp e ạ

Đề như thế nào?

$\sqrt{x+2}+x^2-x+2\le \sqrt{3x-2}$?

Nếu thế, BPT có nghiệm thì

$$x^2-x+2\le VT\le VP \le \frac{(3x-2)+1}{2}.$$

Suy ra điều vô lý: $2x^2-5x+5\le 0.$

Do đó, PT VN. 

mn giúp mk với

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+xy+1=4y \\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$

Nhìn nhau chút thôi, ta nhận ra cái đứa $u:=(x^2+1)$ và $v:=y$ xuất hiện ở hai phương trình, xem chúng như ẩn của hệ phương trình tuyến tuyến theo hai ẩn đó; các 'phần' còn lại như tham số.

Từ góc nhìn đó, ta có hệ phương trình tuyến tính theo ẩn $u$ và $v$ như sau

$$\begin{cases}\begin{matrix} u-4v=-y(x+y),\\ 2u+7v=y(x+y)^2\end{matrix} \end{cases}$$

Giải hệ, ta nhận đươc $$y=v=\frac{y \left(x + y\right) \left(x + y + 2\right)}{15}.$$

Do đó $y=0 \vee x+y=3 \vee x+y-5.$

Phần còn lại không khó khăn!

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x+y+4=\frac{12x+11y}{x^2+y^2}\\ y-x+3=\frac{11x-12y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

Có thể giải theo cách lớp 10 đ.c không ạ ^^!

Có lẽ lời giải bên dưới "đơn giản" (vì không cần nhiều kiến thức toán). 

$x.PT1-y. PT2$: $ x^2+2xy-y^2+4x-3y=12 (*).$

$y.PT1+x. PT2$: $ -x^2+2xy+y^2+3x+4y=11 (**).$

$ PT (*) - k\times PT (**)$ (vế theo vế) với "tiêu chí" chọn $k$ là ta có thể đưa phương trình bậc hai theo ẩn $x$ với $\Delta$ chính phương.

Khi đó, ta chọn $k=\frac{79}{119}$. Lúc này,  phương trình thu được $(11x - 9y - 13)(18x + 22y + 43)=0.$

...

Hình như là Ả rập Saudi thì phải

Năm nào thế bạn?

Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy $\left ( a_{n} \right )_{n\geq 1}$ xác định bởi:

$a_{n}= \sqrt{k+ \sqrt{k+ ...+ \sqrt{k}}}$

Biểu thức trên có n dấu căn.

(i) Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k.

 

(ii) Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên.

 

(ii) Chứng minh rằng k lẻ thì giới hạn của dãy là vô tỉ.

(i) Dãy $\{a_n\}$ có thể viết lại dưới dạng dãy truy hồi: $a_1=\sqrt{k},\quad a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}, n\ge 1.$

Vì $f(x)=\sqrt{k+x}$ là hàm tăng trên $D=(0,\infty)$, $a_n \in D\forall n\in D, \quad a_1<a_2$ nên dãy $\{a_n\}$ là dãy tăng.

Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra được $a_n\le \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}, n\ge 1.$

Suy ra dãy đơn điệu và bị chặn $\{a_n\}$ hội tụ.

Và dễ dàng chỉ ra $\lim a_n\le \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.$

(ii) Giới hạn dãy $\{a_n\}$ là số nguyên khi và chỉ khi nguyên lớn hơn $\ell: \ell\ge 2$ sao cho

$$\ell=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}. $$

Khi và chỉ khi số nguyên dương $k$ có dạng $ k=\ell^2-\ell, \ell\in \mathbb{N}: \ell\ge 2.$

(iii) $4k+1$ là số chính phương khi và chỉ khi $\ell\in \mathbb{Z}$ (lưu ý: $4k+1$ là số lẻ).

Do đó, với $k$ lẻ thì không tồn tại $\ell\in \mathbb{N}: \ell\ge 2$ sao cho $k=\ell^2-\ell$. Vì thế  $\lim a_n \not\in \mathbb{Z} $ nên $4k+1$ không là số chính phương.

Suy ra $\lim a_n$ là số vô tỉ.