Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


one

Đăng ký: 26-05-2005
Offline Đăng nhập: 28-12-2014 - 01:35
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tìm điểm C của Hình chữ nhật

05-09-2013 - 23:58

Lời giải:

Nhận xét: Với mỗi điểm B chạy trên (d) ta đều dựng được h.c.n ABCD sao cho BM=CN (chưa xét tới điều kiện M, N nằm trên cạnh BC,CD). Cách dựng hình như sau:
+ Vẽ đường tròn tâm B bán kính BM cắt đường thẳng AB tại J và J'.
+ Qua J kẻ đường thẳng vuông góc với AB, giao của đường này với đường thẳng BI chính là N. Qua N kẻ đường thẳng //AB thì giao của đường thẳng này với đường thẳng BM chính là điểm C. Từ đó dựng được h.c.n ABCD.
+ Đối với J' cũng làm tương tự.
=> Hai nghiệm hình. Khi điểm B trùng với giao điểm của 2 đường thẳng (AI) và (d) là trường hợp suy biến.
Hình vẽ: (cuối bài có đính kèm file hình vẽ bằng GSP)
File gửi kèm  hinhB22.jpg   38.82K   45 Số lần tải

 

Như vậy, luôn dựng được điểm C đối với từng vị trí cụ thể của B.
Bây giờ ta sẽ xét đến điều kiện của điểm B sao cho M,N phải lần lượt nằm trên cạnh BC,CD:
+ Kí hiệu (Xi,Yi) là tọa độ điểm i.
Ta có:
(d)         $x-2\,y+6=0$

(AI)        $-{\frac {16}{5}}\,x+8-{\frac {12}{5}}\,y=0$

=> P là giao của (d) và (AI) có tọa độ $P(\frac{2}{11},\frac{34}{11})$

Vì B nằm trên (d) nên tọa độ của B có dạng $B(b,\frac{1}{2}b+3)$

=> Phương trình đường thẳng AB là: 

(AB)       $\left( 1/2\,b-3 \right) \left( x+2 \right) - \left( b+2 \right) \left( y-6 \right) =0$

Từ PT (AB) và (AI):
+ khi $b=-2$ , tọa độ B là B(-2,2), dễ dàng xác định được bài toán có một nghiệm là C(7,2), và khi đó D(7,6), M(1,2), N(7,5)
+ khi $b=6$ thì (AB) là đg thẳng $y=6$, trường hợp này không có điểm C thỏa mãn bài toán.
+ khi $b=\frac{2}{11}$ thì B trùng với giao điểm của AI và (d), tức là hai đường thẳng (AI) và (BI) trùng nhau, trường hợp này không có điểm C thỏa mãn bài toán.

Sau đây xét bài toán với $b\neq \left \{ -2,6,\frac{2}{11} \right \}$ :

Do BC vuông góc AB nên PT đg thẳng BC là:

(BC)       $\left( b+2 \right) \left( x-b \right) + \left( 1/2\,b-3 \right) \left( y-1/2\,b-3 \right) =0$

Từ PT của (BC) và (AI) suy ra khi $b= -18$ thì (BC)//(AI) nên chúng không cắt nhau tại điểm M => trường hợp này vô nghiệm. Vậy, trong các tính toán tiếp theo ta xét thêm điều kiện $b\neq -18$
Gọi tọa độ của C là $C(X_{C},Y_{C})$, nếu đặt $X_{C}=c$ thì từ phương trình đường thẳng BC, ta có:
$Y_{{C}}=1/2\,{\frac {-4\,bc+5\,{b}^{2}-8\,c+8\,b-36}{b-6}}$                           (*)
Gọi $K(X_{K},Y_{K})$ là tâm hình chữ nhật ABCD => K là trung điểm của AC, tọa độ của K là:
$X_{K}=-1+1/2\,c$               $Y_{K}=3+1/4\,{\frac {-4\,bc+5\,{b}^{2}-8\,c+8\,b-36}{b-6}}$
Tọa độ của D (D đối xứng B qua K) là:

$X_{D}=-2+c-b$                   $Y_{D}=3+1/2\,{\frac {-4\,bc+5\,{b}^{2}-8\,c+8\,b-36}{b-6}}-1/2\,b$

PT đg thẳng CD, DA và BI là:

(CD)      $\left( 3-1/2\,b \right) \left( x-c \right) - \left( -2-b \right) \left( y-1/2\,{\frac {-4\,bc+5\,{b}^{2}-8\,c+8\,b-36}{b-6}} \right) =0$

(DA)       $-{\frac { \left( 2\,b+4 \right) \left( -c+b \right) x}{b-6}}+ \left( -b+c \right) y-{\frac { \left( -2\,b+44 \right) \left( -c+b \right) } {b-6}}=0$

(BI)         $\left( 1/2\,b+1/5 \right) \left( x-2/5 \right) - \left( b-2/5 \right) \left( y-{\frac {14}{5}} \right) =0$

M là giao của (AI) và (BC), tọa độ M là nghiệm của HPT tương giao của chúng =>

$X_{M}=1/4\,{\frac {12+15\,{b}^{2}+4\,b}{b+18}}$

$Y_{M}=-{\frac {-56+5\,{b}^{2}-2\,b}{b+18}}$

N là giao của (BI) và (CD), tọa độ N là nghiệm của HPT tương giao của chúng =>

$X_{N}=1/4\,{\frac {25\,{b}^{4}-25\,{b}^{3}c+54\,{b}^{3}-10\,{b}^{2}c-20\,{b} ^{2}-56\,b-252\,bc+104\,c}{ \left( 11\,b-2 \right) \left( b-6 \right) }}$

$Y_{N}=1/8\,{\frac {-1480\,b-25\,{b}^{3}c-30\,{b}^{2}c-268\,bc+25\,{b}^{4}+74 \,{b}^{3}+260\,{b}^{2}+288-104\,c}{ \left( 11\,b-2 \right) \left( b-6 \right) }}$

Từ đây tính độ dài của các đoạn thẳng BM và CN:

$dBM=1/4\,\sqrt {{\frac { \left( 4\,b+5\,{b}^{2}+52 \right) \left( 11\,b-2 \right) ^{2}}{ \left( b+18 \right) ^{2}}}}$

$dCN=1/8\,\sqrt {{\frac { \left( 4\,b+5\,{b}^{2}+52 \right) \left( 25\,{b} ^{3}-25\,{b}^{2}c+4\,{b}^{2}-4\,bc-28\,b+28\,c \right) ^{2}}{ \left( 11\,b-2 \right) ^{2} \left( b-6 \right) ^{2}}}}$

Giải PT $dBM=dCN$ theo ẩn $c$ và tham số $b$, ta được 2 nghiệm:

$c_{1}={\frac {25\,{b}^{4}+212\,{b}^{3}-1040\,b+1584\,{b}^{2}+48}{ \left( b+ 18 \right) \left( 25\,{b}^{2}+4\,b-28 \right) }}$

$c_{2}={\frac { \left( b-2 \right) \left( 25\,{b}^{3}+746\,{b}^{2}-4\,b+24 \right) }{ \left( b+18 \right) \left( 25\,{b}^{2}+4\,b-28 \right) }}$

Nhận xét: phương trình cho 2 nghiệm, tương ứng với việc cứ với mỗi vị trí của điểm B thì có 2 nghiệm hình C1 và C2 thỏa mãn BM=C1N và BM=C2N (khi chưa xét điều kiện M,N nằm trên cạnh BC,CD) như đã phân tích qua phép dựng hình ở phần đầu lời giải.

(note: dễ thấy $c_{1}+c_{2}=2b$ điều này tương ứng với việc C1 và C2 đối xứng nhau qua B)

Bây giờ, ta sẽ xét điều kiện của điểm B (tức là xét tham số $b$) sao cho thỏa mãn điều kiện M, N lần lượt nằm trên cạnh BC, CD:

- Xét $c=c_{1}$ :

Vì $b\neq 6$ nên BC không vuông góc với trục Ox, do đó đk cần và đủ để M nằm trên cạnh BC (tức là M nằm giữa B và C) là:

$(X_{M}-X_{B})(X_{M}-X_{C})\leqslant 0$        (1)

Vì $b\neq -2$ nên CD không vuông góc với trục Ox, do đó đk cần và đủ để N nằm trên cạnh BC (tức là N nằm giữa C và D) là:

$(X_{N}-X_{C})(X_{N}-X_{D})\leqslant 0$         (2)

Thay các giá trị, ta được:

(1) <=>    $BPT1_{M}=1/16\,{\frac { \left( 11\,b-2 \right) ^{2} \left( b-6 \right) ^{2} \left( 25\,{b}^{2}+92\,b-44 \right) }{ \left( b+18 \right) ^{2} \left( 25\,{b}^{2}+4\,b-28 \right) }}\leq 0$

(2) <=>     $BPT1_{N}=1/4\,{\frac { \left( b+2 \right) ^{2} \left( 11\,b-2 \right) \left( 13\,b+34 \right) }{ \left( b+18 \right) ^{2}}}\leq 0$

Giải hệ gồm 2 Bất PT trên ta được nghiệm:

$-\frac{34}{13}\leqslant b< -\frac{2}{25}-\frac{8}{25}\sqrt{11}$       (3)

Thực hiện một cách tương tự đối với trường hợp $c=c_{2}$, ta sẽ được tập nghiệm nữa của $b$ thỏa mãn bài toán, cụ thể:

$-\frac{2}{25}+\frac{8}{25}\sqrt{11}< b\leqslant \frac{42}{25}+\frac{4}{25}\sqrt{129}$          (4)

 

Tại các điểm đầu mút của (3) cho ta tương ứng hai điểm đầu của đoạn thẳng gọi là $B_{1}B_{2}$ nằm trên (d). Tương tự với (4) ta được $B_{3}B_{4}$. Cụ thể: $B_{1}(-\frac{34}{13},\frac{22}{13})$,   $B_{2}(-\frac{2}{25}-\frac{8}{25}\sqrt{11},\frac{74}{25}-\frac{4}{25}\sqrt{11})$

 

       $B_{3}(-\frac{2}{25}+\frac{8}{25}\sqrt{11},\frac{74}{25}+\frac{4}{25}\sqrt{11})$,     $B_{4}(\frac{42}{25}+\frac{4}{25}\sqrt{129},\frac{96}{25}+\frac{2}{25}\sqrt{129})$

 

Vậy, đi đến kết luận: với mỗi điểm B chạy trên hai đoạn thẳng $B_{1}B_{2}$ và $B_{3}B_{4}$ trên đường thẳng (d) bài toán luôn có nghiệm, tức là luôn xác định được điểm C thỏa mãn điều kiện ban đầu của bài toán, nghiệm này là duy nhất ( vì hai tập (3) và (4) không giao nhau), (Note: tại $B_{2}$, $B_{3}$ vô nghiệm). Về mặt ý nghĩa hình học, việc xác định tọa độ điểm C là không cần thiết (vì với mỗi vị trí cụ thể của B thỏa mãn bài toán ta đều dựng hình được), nhưng nếu cần vẫn tính được tọa độ của C theo tọa độ của B (dựa vào (*))

+ Từ PT của (DA) cho thấy cần phải xét thêm trường hợp khi b=c, thay giá trị và tính toán, ta thấy hoặc đây chính là một trường hợp suy biến khi $b=\frac{2}{11}$ (bài toán vô nghiệm), hoặc khi $b=6$ (bài toán cũng vô nghiệm).

+ Nghiệm đặc biệt là trường hợp $b=-2$, khi đó tọa độ B là (-2,2), khi đó C(7,2), D(7,6), M(1,2), N(7,5) ta thấy các điểm này đều mang tọa độ nguyên, có lẽ đây là bài toán gốc.

+ Bài toán đã cho phát biểu thiếu sáng sủa.

+ Các tính toán trong lời giải trên đều sử dụng chương trình Maple (nếu phải tính thủ công thì cũng xin chào thua)

+ Sau đây là file đính kèm hình vẽ động của bài toán trên GSP để các bạn tham khảo, (chú ý kéo điểm B chạy trên (d) hoặc dùng Display/Show motion controller)

https://www.dropbox....5i1irq/BH22.gsp