Audition

bài 1 ta có thể đưa về dạng tổng quát cho n số rùi chạy về 4 số
còn bài 2 ta cm 1 số bên VT bé hơn 1 số bên VP là ra thôi

nếu ta lấy $a=b=2$ và $c=0$ thì bđt trên k đúng rùi

Bài này trước hết ta CM bđt sau $a^2+b^2+c^2 \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)$ (Bđt này CM bằng cách nhân vế trái của bđt với a+b+c rồi dùng Cauchy 2 số) (1)

Tiếp theo ta dùng Cauchy 2 số cho $\dfrac{a^2}{b}$ vs 9a²b ta sẽ được $\dfrac{a^2}{b}+9a^2b \ge 6a^2$. Tương tự như thế ta sẽ thu được VT+ 9(a²b+b²c+c²a) $\ge 6(a^2+b^2+c^2)$ (2)
Thế (1) ta sẽ được đpcm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1/3$

P/s: Cảm ơn anh ongtroi đã sửa giúp!

Cho $a,b,c \in \left( {0;1} \right)$. CMR $\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le 1$
Giải:
Do $a,b,c \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow 1 - a,1 - b,1 - c$ là những số dương.
Áp dụng BĐT Côsi ta có

$\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \dfrac{{1 - a + 1 - b + 1 - c}}{3} = 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3}$

Mặt khác:

$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{3} = \sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3} \le 1 - \sqrt[3]{{abc}} \le 1 - \sqrt {abc} $

Vậy $VT \le \sqrt {abc} + 1 - \sqrt {abc} = 1$ (đpcm)

Cái này là căn bậc 2 sao bạn dùng AM-GM 3 số được bạn

Bài này điểm rơi của nó là $a = b = c = \dfrac{1}{3}$ hoặc $a = b = c = \dfrac{2}{3}$

Theo em thì ta có thể chia đoạn đường trên làm 4 chặng với 3 chặng đầu dài 333 km và chặng cuối dài 1 km
Sau khi đi chặng 1 thì để lại nơi tập kết giữa 2 chặng 334 quả rồi quay về lấy thêm cho đủ 1000 quả rồi đi tiếp cho đến khi nào hết số quả
Tương tự như những chặn còn lại
Không biết đúng k nữa