vuthanhtu_hd

Chuẩn bị sang năm 2011 rồi mà diễn đàn mình vẫn còn mấy mục Các kỳ thi VMO, TST, IMO năm 2009 , Kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học 2009 lỗi thời quá. Còn cái Trại hè Toán học 2010 không tổ chức vì vậy nên đóng cái mục này lại hoặc xóa đi

Đây em

Chứng minh dùm các định lí sau:
1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp.
2. i. Nếu A, B là các ma trận cấp mxn thì rank(A+B) rankA+rankB
ii. Nếu A là ma trận cấp mxn, B là ma trận cấp nxp thì rank (AB) min{rankA,rankB}
iii. Nếu A là ma trận cấp mxn, X là ma trận khả nghịch cấp n, Y là ma trận khả nghịch cấp m thì rankA=rank(AX)=rank(YA)
3. Cho A, B là ma trận cấp mxn. Nếu A đồng dạng với B thì rankA = rankB

Gợi ý
Câu 1 thì áp dụng các hệ thức quen biết chỉ ra các phép biến đổi không làm thay đổi tính khác không hay bằng không của các định thức con của một ma trận -> không làm thay đổi hạng ma trận

Câu 2.i
Giả sử A,B là các ma trận cấp $m \times n$ và $f: V \rightarrow W$
$g: V \rightarrow W$ là các ánh xạ tuyến tính nhận A,B là các ma trận biểu diễn
(V,W là các không gian n,m chiều)

$rank(A+B) =dim((f+g)V)=dim(f(V)+g(V))$
$=dim(f(V)+dimg(V)-dim(f(V) \cap g(V))$

$\le dim(f(V)+dimg(V)=rank(A)+rank(B)$

ii.Mỗi dòng của $AB$ biểu diễn tuyến tính qua các dòng của $B$
Mỗi cột của $AB$ biểu diễn tuyến tính qua các cột của $A$
nên $rank(AB) \le rank(A)$ ; $rank(AB) \le rank(B)$ .Ta có đpcm
iii.Áp dụng các BĐT về hạng của ma trận

3.Vì $A,B$ đồng dạng nên có thể viết
$A=Q^-1B.Q$
$B=P^-1.A.P$
Áp dụng BĐT ở trên dễ suy ra $rank(A) \le rank(B)$ và $rank(B) \le rank(A)$
Suy ra đpcm

Đề thi Olympic toán SV toàn quốc 2010

Đề thi VMO 2010

B.Đ.T cần chứng minh tương đương với $(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.

Cho em hỏi chỗ $(x+1)^4+(y+1)^4\ge(x+1)^3+(y+1)^3$ là áp dụng hằng đẳng thức để khai triển ra hay là dùng phương pháp khác vậy ạ. Em thấy anh ghi vắng tắt quá nên em chưa hiểu

$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\leftrightarrow (1+x)^{3}[(x+1)-1]+(1+y)^{3}[(y+1)-1] \geq0$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow (x^4+y^4)+3(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+x+y \ge 0$ (khai triển )

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.

PT TQ của pt pell là x^2- Dy^2=1
đây là file toàn bộ bài giảng
Nhấm nhầm nút thanks

Bài này có 1 lời giải rất đẹp chỉ dùng $AM - GM$ mà thôi ( Hero TVƠ mất toi 25$ chỉ để biết cái lời giải này T T )

Đặt vế trái của bđt là $A$ , vế phải là $B$

Đặt $ x = ab + cd ; y = ac + bd ; z = ad + bc$

Ta có : $36A^4 = (x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx) \Rightarrow 12A^4 \geq xy + yz + zx \ \ (2) $

Trong đó :

$ xy + yz + zx = ( a^2 bc + a^2 bd + a^2 cd ) + ( b^2 ad + b^2 ac + b^2 dc ) + ( c^2 ad + c^2 bd + c^2 ab ) $

$ + ( d^2 ab + d^2 ac + d^2 bc ) \ \ (1)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ :

$A^4 + a^2 bd + b^2 ad + d^2 ab \geq 4Aabd $

Tương tự $ A^4 + a^2bc + b^2 ca + c^2 ab \geq 4Aabc $

$ A^4 + a^2 cd + c^2 ad + d^2 ac \geq 4Aacd $

Và $ A^4 + b^2 cd + c^2 bd + d^2 bc \geq 4Abcd $

Cộng $4$ bất đẳng thức trên vế theo vế , đồng thời kết hợp với $(1) \ ; \ (2)$ , ta có :

$ 16A^4 \geq 4A (abc + bcd + acd + abd) = 4A . 4B^3 = 16 AB^3 $

suy ra $ A \geq B $

Lời giải rất đẹp

Tạm thời không tán nữa. Hẹn các bạn khoảng 40 ngày nữa trở lại forum nha

Vị đại hiệp này quy ẩn lâu quá

Cho $x \leq 1 ,x+y \geq 3$
Tìm min của :A= $ 3x^2 +y^2 +3xy$

Bạn xem VD 7 nhé

http://diendantoanho...?...c=41380&hl=

Trước tiên sẽ là các bài toán của tháng 5 /2009 và 6/2009 (đã hết hạn gửi bài )
Bài 1 (T7/383) (Trần Đình Quế) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$T=\dfrac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\dfrac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\dfrac{ca+ab}{c^2-a^2+b^2}$

trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác $ABC$ và $abc=1$

Bài toán này mình đánh giá là khá hay và khó.Hai bạn vo thanh van và mai quoc thang đều mắc chung 1 sai lầm là không để ý đến mẫu của các số hạng.
Dễ thấy bộ ba số $(a,b,c)=(1.5,0.5,\dfrac{4}{3})$ thỏa mãn bài toán.Nhưng khi đó ta tính được $T \approx -8.307692308$
Trong khi đó với $a=b=c=1$ thì $T=6$ tức là GTNN của $T$ không phải là $6$.
Không biết đề bài có nhầm lần không ,rất có thể lời giải của tác giả mắc sai lầm tương tự .
Rất mong các bạn tiếp tục trao đổi và đưa thêm lời giải cho cả bài 2 và 3.

Trước tiên sẽ là các bài toán của tháng 5 /2009 và 6/2009 (đã hết hạn gửi bài )


Bài 1 (T7/383) (Trần Đình Quế) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$T=\dfrac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\dfrac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\dfrac{ca+ab}{c^2-a^2+b^2}$

trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác $ABC$ và $abc=1$


****************************************************************************

Bài 2 (T5/THCS) (Võ Quốc Bá Cẩn).Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$1<\dfrac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{b+c^2}}+\dfrac{a}{\sqrt{c+a^2}}<2$


****************************************************************************
Bài 3 (T4/384) (Trịnh Xuân Tình)Cho $x,y,z$ là các số không âm và thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=(x+2y+3z)(6x+3y+2z)$

Thảo luận các bài toán Bất đẳng thức trên tạp chí THTT



Mathematics and Youth Magazine

Các bạn thân mến!Bất đẳng thức (BĐT) có thể coi là lĩnh thú vị và thu hút nhiều người quan tâm nhất trong toán sơ cấp.Chúng ta có thể thấy,mỗi ngày qua đi lại có rất nhiều bài toán BĐT được tạo ra.Đặc biệt ,đây cũng là phần hay được đề cập đến trên THTT.Chuyên mục Đề ra kì này mỗi kì hầu hết đều ít nhiều đả động đến BĐT.Tuy nhiên do khuôn khổ tạp chí mà có thể nhiều cách giải hay khác cho một bài toán không được đề cập tới.Trước đây,mình cũng từng tham gia giải bài trên tạp chí,một vài lần mình thấy cách giải của mình cũng thú vị chả kém cách giải trên tạp chí,tiếc là không được đăng ,tất nhiên đây chỉ là đánh giá của cá nhân mình.Chính vì vậy mà mình lập ra topic này để cho các bạn chia sẻ lời giải của mình cho các bài toán trên tạp chí cũng như đưa ra các nhận xét,bình luận,mở rộng bài toán...,một lí do khác là mình thấy box này quá vắng vẻ nên muốn làm nóng nó lên .
Để đảm bảo,các bài toán được nêu ra ở đây đều là các bài toán đã hết hạn tham gia gửi bài và chuẩn bị chữa trên THTT.Rất mong các bạn ủng hộ topic này để làm cho diễn đàn mình ngày càng sôi nổi ,phát triển hơn.

Thân!

vuthanhtu_hd

Bản kỉ yếu điện tử sẽ là 1 món quà đầy ý nghĩa dành cho các bạn không có điều kiện tham gia Trại hè, vì vậy share tài liệu này là 1 việc nên làm ^^
Link MediaFire: http://www.mediafire...php?jmnzntzo2mo

May quá,mình ko tham gia trại hè mà vẫn được đọc kỷ yếu

Câu 2.
a) Giải bất phương trình $2x + 1 \le \sqrt {8x + 9} $
b) Cho a, b, c là các số thuộc [-1, 2] thoả mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=6$.CMR:$ a+b+c \geq 0$

Ta có $\sum_{sym} (a+1)(a-2) \le 0$ nên $\sum_{sym} (a^2-a-2) \le 0$

Do đó $\sum_{sym}a \ge (\sum_{sym}a^2) -6=0$

OK