chuyentoan

Em thử đưa ra một ý tưởngi xem đúng không nhé!
Trước tiên chỉ cần xét tính chẵn lẻ của $a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$ ta có thể suy ra tổng các phần tử của tập $\left \{ a_1,a_2,\dots,a_n \right \}\setminus \left \{ r_n \right \}$ là $3a_n$ và $r_n$ chỉ có thể nhận giá trị $0$ hoặc $1$.
Bây giờ ta sẽ chứng minh quy nạp rằng mọi số không vượt quá $a_n$ đều biểu diễn được dưới dạng tổng của một số số thuộc tập $\left \{ a_2,a_3, \dots,a_{n-1} \right \}$
Dễ dàng kiểm tra với $n=7$
Ta chỉ cần chú ý $a_n-a_{n-1}= \left \lfloor \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{ -2} - a_{n-1}}{2} \right \rfloor <a_{n-1}$. Do đó nếu mệnh đề đúng với $n-1$ thì các số không vượt quá $\left \lfloor \frac{a_1 + a_2 + \cdots - a_{n-1}}{2} \right \rfloor <a_{n-1}$ đều biểu diễn được dưới dạng tổng của một số số thuộc tập $\left \{ a_2,a_3, \dots,a_{n-2} \right \}$. Từ đây suy ra mệnh đề cũng đúng với $n$.
Từ 2 nhận xét trên ta có thể suy ra đpcm.
Nếu lời giải này đúng thì ta thấy bài toán hoàn toàn có thể được làm chặt hơn.

Từ mọi số không vượt quá $a_{n-1}$ đều biểu diễn được dưới tổng của một số số trong các số $a_2,\dots,a_{n-2}$ suy ra mọi số không vượt quá $a_n$ cũng biểu diễn được dưới tổng của một số số trong các số $a_2,\dots,a_{n-1}$.

Đoạn này bạn nói rõ hơn được không? Nếu chỗ này chứng minh ổn là chuẩn rồi

Nói chung ý tưởng làm của bạn là chuẩn rồi. Bạn chỉ nên trình bày rõ ràng rành mạch và đầy đủ hơn thôi. Bất đẳng thức trên là khá lỏng, ta có thể làm chặt nó hơn như sau:

Đặt $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Chứng minh rằng:

$1+2n\frac{\log{\phi}}{L_{2n}}\le \frac{1}{2}\left ( L_{2n}^{\frac{1}{L_{2n}}} +F_{2n}^{\frac{1}{F_{2n}}}\right ) \le 1 + 2n\frac{\log{\phi}}{F_{2n}}$

Em thử bon chen tí nhé mọi người
Với $n=1,2,3$ thì BĐT đúng
Với $n>3$ thì
$ y = F_n^{\frac{1}{F_n}} \Rightarrow \ln y = \frac{1}{F_n} \ln F_n $

$\Rightarrow \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{-F_n^{\prime}}{(F_n)^2}\ln F_n + \frac{F_n^{\prime}}{(F_n)^2}= \frac{F_n^{\prime}}{(F_n)^2} (1 - \ln F_n) < 0$
\[x = {L_n}^{\frac{1}{{{L_n}}}} \Rightarrow \dfrac{{x'}}{x} = \frac{{ - {L_n}'}}{{{{({L_n})}^2}}}(1 - \ln {L_n}) < 0\]
Ta chứng minh
\[\frac{{{F_{n + 1}}}}{{{F_{2n}}}} < \frac{{{F_n}}}{{{F_{2n - 2}}}} \Leftrightarrow {F_{n + 1}}{F_{2n - 2}} < {F_n}{F_{2n}}\]
Em nghĩ rằng BĐT này đúng nếu thay công thức tổng quát vào khai triển ra theo
\[a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1}}{a} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\]

Ý bạn $y$ ở đây là hàm số với biến là $F_n$? Tức là $y\left ( F_n \right ) = F_n^{\frac{1}{F_n}}$?

$F_n'$ có nghĩa là gì? Nếu xem $F_n$ là một hàm số với biến là $n$ thì hàm này không khả vi. Còn nếu xem $F_n$ là biến của hàm số $y$ thì ta có thể viết gọn lại $F_n'$ của bạn là bằng $1$.

Đến đoạn $\frac{y'}{y}<0$ rồi sau đó bạn đưa bất đẳng thức cho các số Fibonacci (cái này mình chưa kiểm chứng lại) rồi bạn làm tiếp thế nào nữa?

Có chứ thế này nhé
$2S=a.h_{a}=b.h_{b}=c.h_{c}$
nên tam giác có độ dài 3 cạnh là $h_{a},h_{b},h_{c}$ đồng dạng với tam giác có 3 cạnh là $a,b,c$

Bạn nhầm rồi. Phải là $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ thì $x,y,z$ mới là ba cạnh của một tam giác. Như vậy, nếu dùng đẳng thức của bạn thì ta có ba cạnh của tam giác là $\frac{1}{h_a},\frac{1}{h_b},\frac{1}{h_c}$ Chứ không phải là $h_a,h_b,h_c$

Chỗ đó do số các số -1 lẻ mà -1=(-1).1 nên số các số -1 và 1 trong n số ban đầu có lẻ số ...

Ý bạn là trong các số $x_ix_{i+1}$ có lẻ số $-1$ nên trong các số $x_i$ cũng phải có lẻ số $-1$. Mình chưa thấy chỗ logic ở đây :">

Mình thì có hướng tiếp cận bài toán hơi khác để chứng minh trong các số $x_ix_{i+1}$ có chẵn số $-1$: lấy tích tất cả các số này ta được $x_1^2x_2^2\dots x_n^2$ là một số dương, từ đó rõ ràng số các số $-1$ phải là số chẵn.