Bùi Việt Anh

Nếu các bạn muốn một lời giải thuần túy cổ điển thì xin mời tiếp tục! Còn nếu đơn thuần là cần 1 lời giải thì GLA hay ABC đều dễ dàng giúp ta thỏa mãn điều này, kể cả bài toán tổng quát với 2n biến, thậm chí là mũ k ( với k thực ) cái điều kiện ban đầu.
Đại ý lời giải thế này:
Cố định 5 biến d, x, y, z, t và cho a, b, c chạy.
Lại tiếp tục cố định ab+ac+bc
Từ điều kiện ban đầu ta tính được a+b+c theo d, x, y, z, t và ab+ac+bc. Điều này có nghĩa là a+b+c=const.
Theo định lý trong GLA hay ABC ta suy ra được: abc đạt giá trị lớn nhất khi trong 3 biến có 2 biến bằng nhau ( cụ thể là 2 biến nhỏ hơn bằng nhau ).
Do vai trò của các biến như nhau nên ta đi đến kết luận:
Để tích abcdxyzt đạt max thì trong 4 biến a, b, c, d có 3 biến bằng nhau và nhỏ hơn hoặc bằng biến còn lại; trong 4 biến x, y, z, t có 3 biến bằng nhau và nhỏ hơn hoặc bằng biến còn lại.
Bài toán được giải quyết!
Cách làm hoàn toàn tương tự với khi ta thay bài toán 8 biến thành 2n biến.

Dù rất muốn đưa bản mềm lên mạng chia sẻ cùng mọi người nhưng khi tham gia viết sách anh đã phải làm cam kết sẽ ko được cung cấp cho ai ngoài Trần Phương. Phần trên mạng chỉ là phần nhập môn dùng chứng minh cho 3 biến, nó khá yếu và phải mất công sức biến đổi. Các em có thể mượn ai có sách photo riêng phần GLA full để có thể giải được nhiều bài toán n biến với số mũ thực. Theo anh, các em nên photo toàn bộ phần "các PP chứng minh BDT hiện đại" gồm: S.O.S, ABC, GLA, chia để trị, EV ( khoảng 300 trang ). So với phần ABC và chia để trị đã có trên mạng thì trong sách đầy đủ và mở rộng hơn nhiều.

Chuyển bài toán về p, R, r
Điều kiện trở thành: 4R = 9r.
Biểu thức cần tìm cực trị là một hàm đồng biến theo p. Dẫn tới kết luận:
-Min đạt khi 2 biến lớn hơn bằng nhau
-Max đạt khi 2 biến nhỏ hơn bằng nhau

Với cách làm này ta có thể giải cho bài toán tổng quát n biến, mũ của các số hạng là thực.

Thầy và các bạn có thể tham khảo phương pháp GLA trong cuốn "Những viên kim cương..." ( Phần GLA trên mạng chỉ là phần mở đầu nên chưa đủ sức mạnh để giải bài toán tổng quát). Mong mọi người thứ lỗi cho VA ko post lời giải cụ thể vì đang rất bận, cả tháng mới ghé qua diễn đàn 1 lần và cũng chỉ reply vì đây là bài của thầy namdung ).
Chúc thầy và các bạn công tác&học tập tốt!

Thân!

Bài toán sau cùng dạng nhưng có vẻ khó hơn rất nhiều, mọi người thử xem nhé.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac a{a^2+3bc}+\dfrac b{b^2+3ca}+\dfrac c{c^2+3ab}\le\dfrac{(a+b+c)^3}{4(ab+bc+ca)^2}$

Cách giải dùng phần kiến thức cơ sở trong GLA:
Về phải đã có sẵn công thức.
Vế trái quy đồng, nhóm và dùng những công thức có sẵn.
Sau khi quy về p, R, r ta có thể dùng đánh giá khá thoáng vì bài này ko chặt.

@nguyen_ct: Em dự đoán đẳng thức thì đúng rồi nhưng anh nghĩ ko thể chứng minh theo cách đó được. Em suy nghĩ thêm xem!
@Blueflower: Em mua quyển "Những viên kim cương" và đọc toàn bộ về GLA rồi à? Đó đúng là 1 trong các ứng dụng của định lý GLA tổng quát. Tuy nhiên định lý đó chứng minh khá phức tạp. Anh muốn biết có lời giải nào đơn giản hơn ko nên đưa lên đây nhờ mọi người trả lời giúp.