noproof

Mình Không biết Mở rộng Nhóm là gì, nhưng nếu mở rộng trường thì đơn gian thôi.
Phản ví dụ đó là Trường số phức C = R(i), có bậc bằng 2 nhưng không là mở rộng đại số vì e, in C nhưng không là phần tử đại số trên R.

Tớ không biết bạn nói đên e, pi nào, nhưng nếu nói đên e, pi theo nghĩa thông thường thì chúng là đại số trên R vì chúng là các số thực.

Bài tập trên có thể suy ra từ định lý Dirichlet như sau. Vì a, b nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Dirichlet tồn tại (vô hạn) m mà a+mb là số nguyên tố. Chọn m đủ lớn sao cho a+mb nguyên tố và lớn hơn n. Khi đó, (a+mb,n)=1. Gọi r là số dư của m cho n. Ta có (a+rb,n)=1 và r tự nhiên, -1<r<n.

Tôi không biết rằng: có một chứng minh trực tiếp nào cho bài tập trên (không dùng định lý Dirichlet) hay là thực ra bài tập này và định lý Dirichlet là tương đương?

sao không ai chỉ giúp mình một phản ví dụ?

Bạn có thể xem "Fields and Galois theory" của James Milne, cho free trên mạng. Ví dụ đó là: Example 5.5, page 48. Tôi nhắc lại ví dụ này ở dưới đây.
Cho k là trường đóng đại số đặc số p>0. Cho X, Y là các biến độc lập đại số trên k. Gọi F=k(X,Y), trường các phân thức hữu tỷ 2 biến X, Y trên k. Gọi E=k(X^p,Y^p). Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn nhưng không phải là mở rộng đơn.

(Có thể xem thêm bài tập 3, Chapter VII trong Algebra của S. Lang)

Nếu mọi định giá (valuation) trên một trường là tầm thường liệu trường đó có buộc phải hữu hạn ???

Bạn nào chỉ hộ tớ cái phản ví dụ với !!!!

Bác thử lấy bao đóng đại số của trường hữu hạn xem thế nào.

Thế thì chắc là sang các trường Paris rồi. Mà cũng đúng thôi, nếu làm kiểu M1 với M2 thì đúng kiểu pháp rồi. Cái này chắc do ý kiến của anh Châu đề xuất.

Mình không biết rõ!

@MrMATH: Mình nghĩ khoảng cách về địa lý không phải là vấn đề quan trọng.