trumly 123

Cho hệ trục tọa độ xiên Oxy,vectơ đơn vị là $\vec{e_{1}},\vec{e_{2}};(\vec{Ox},\vec{Oy})= \phi ;0<\phi<2\pi ;\phi \neq \pi $.
Cho $\vec{a}=(a_1,a_2) ;\vec{b}=(b_1,b_2)$ và điểm $\ M(x_M,y_M)$ với $\ (\vec{Ox},\vec{OM})= \lambda;(\vec{OM}=x_M\vec{e_1}+y_M\vec{e_2})$.
Đặt: $\sigma (x,y)=x^2+y^2+2xycos\phi $;
$ {\sigma^{'}}_x (x,y)=2(x+ycos\phi)$ ;
${\sigma^{'}}_y(x,y)=2(y+xcos\phi)$ .
CHỨNG MINH:
1)$ \vec{a}.\vec{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+(a_1.b_2+a_2.b_1)cos\phi $
$ =\dfrac{1}{2}.[a_1.{\sigma^{'}}_x (b_1,b_2)+a_2.{\sigma^{'}}_y(b_1,b_2)]$
$ =\dfrac{1}{2}.[b_1.{\sigma^{'}}_x (a_1,a_2)+b_2.{\sigma^{'}}_y(a_1,a_2)]$.
2) $\vec{a}=\sqrt{\sigma (a_1,a_2)}$.
3) $\left\{\begin{array}{l}x_M=\dfrac{OM.sin(\phi -\lambda)}{sin\phi}\\y_M=\dfrac{OM.sin(\lambda)}{sin\phi}\end{array}\right$.
4)$\ sin(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{(a_1.b_2-a_2.b_1).sin\phi}{\sqrt{\sigma (a_1,a_2)}.\sqrt{\sigma (b_1,b_2)}} $.
@:thấy box hình học có vẻ chán quá nên em post bài này với mục đích giúp box này sôi nổi hơn
@:mọi người thấy hệ trục tọa độ xiên có thể ứng dụng để giải những bài toán nào? Rất mong các anh em vào đây trao đổi thêm

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=8.Chứng minh:
$\dfrac{a^2}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+ \dfrac{c^2}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}} \geq \dfrac{4}{3}$.

Thấy cái tên mai quoc thang xuất hiện khá nhiều trong các bài bất đẳng thức.
Chắc member này "giỏi"(????) bất đẳng thức lắm .Làm thử mấy bài này xem:
Bài 1 :Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Chứng minh:
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}})^{2} \geq 30 $.
(Làm xong bài này sẽ có bài 2,bài 3,...)

Cho 3 số dương a,b,c thõa:$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3 $.Chứng minh :$\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}\geq \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2} $.