anh qua

Bài toán. Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6} $   

Nguồn: tự chế

Bài toán. (Baltic Way Contest) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$. Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài 3 cạnh là $a, b, c$ 

 Tam giác suy biến là tam giác có độ dài 1 cạnh bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại. 

Chứng minh bổ đề sau : 
Cho $a,b,c\in\mathbb{Z^+}$ , khi đó ta có :$$a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)}$$

với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của $a,b$ và $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$

 

Bài toán. Giải phương trình.

$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$ 

cái này là MR mà 

@barcavodich: đề nghị chú không nên up bài thầy mới cho lên đây.

@tuan10121993: lâu lắm mới thấy anh on , anh là thần tượng của em trên VMF hồi cấp hai

Ồ, anh chế vội quá, không tính đến chỗ 4k+3. Em thay cho anh thành $m^5$ nhé.

Pro. Tìm các số nguyên dương $m,n$ sao cho.
$2^{2^n}+5=m^{7}$.

p.s: Chế một cách thô thiển học :v

Bài này đúng là không biết bổ đề thì chỉ có ăn hành Chú học gì mấy thứ này, biết thôi chứ thi cử ngoài IMO chắc chả dùng :-j Bổ đề này anh thấy giống giống cái phân bố tập hợp trong sách của anh Tân (nhớ mài mại là thế chứ thực cũng chả nhớ nó là cái gì), thử cm bổ đề này thì anh lại nghĩ đến hàm liên tục

Với một số $k$ bất kì thì dĩ nhiên là $\frac{1}{a_1} \le k$, vì $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{n}{a_n})=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ mà $\frac{n_0}{a_{n_0}} \le k < \frac{n_0+1}{a_{n_0+1}}$ từ đây suy ra đc là $\frac{n_0}{a_{n_0}} = k $

Sử dụng vào bài toán thì có thể thấy là tồn tại $n$ thỏa mãn. Nhưng thử cho $p=2,m=1$ hoặc $p=m=1$ thì thấy vế vô hạn có vẻ không đúng lắm thì phải :-?

Thực ra em làm một bài thấy cái bổ đề này hay hay nên chế lung tung thôi chứ cái này thì ở VN làm gì thi đến :v

Hint.

Bổ đề. Cho dãy nguyên dương không giảm  $(a_{n})$ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{a_{n}}{n})=0$. Chứng minh rằng dãy $\frac{n}{a_{n}}$ chưa tất cả các số nguyên dương.

http://www.artofprob...7647d7b#p371488

Cho $m,p$ là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho.

$\frac{n}{m}=\left \lfloor \sqrt[p]{n^{p-1}}\right \rfloor+\left \lfloor \sqrt[p]{n^{p-2}} +...\sqrt[p]{n} +1 \right \rfloor$

Pro44. Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC, P$ là điểm di động trên $AD, E,F$ là giao điểm của $AB,PB$ và đường tròn đường kính $BD; Z$ là giao của $PC$ và đường tròn đường kính $CD$. Chứng minh rằng $(EFZ)$ đi qua một điểm cố định

Cho $\vartriangle ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(X_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(AEF)$ tại $A_1$ và tiếp xúc $AE,AF$. Xác định tương tự, ta có $(X_b),B_1,(X_c),C_1$.

Chứng minh rằng: $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.

Gọi $(Y_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) tại $A_2$ và tiếp xúc trong với AB,AC.

Chú ý, $A$ là tâm vị tự biến $(I)$ - nội tiếp $ABC$ thành $(Y_a)$, $A_2$ là tâm vị tự biến $(Y_a)$  thành $(ABC)$.

Do đó $AA_2$ đi qua tâm vị tự biến $(I)$ thành $(ABC)$, tương tự có $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy.

Chú ý; $AA_1$ và $AA_2$ là hai đường đẳng giác

Do đó  $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.

 

Đoạn lí luận $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy có thể dùng tâm tỉ cự sẽ tường minh hơn  

Cho $n,m,k,t$ là các số nguyên dương thảo mãn $ n\geq m \geq k$ và  $ n +{} m -{} k +{} 1={} 2^t$. Chứng minh rằng.

$ {m \choose k} +{} {n \choose k}$ là số chẵn