Bài toán. Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6} $
Nguồn: tự chế
- nhungvienkimcuong và dungxibo123 thích
Hành Giả Cô Độc
Gửi bởi anh qua trong 03-01-2017 - 00:04
Bài toán. Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6} $
Nguồn: tự chế
Gửi bởi anh qua trong 02-01-2017 - 17:50
Bài toán. (Baltic Way Contest) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$. Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài 3 cạnh là $a, b, c$
Tam giác suy biến là tam giác có độ dài 1 cạnh bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Gửi bởi anh qua trong 25-08-2014 - 09:17
Chứng minh bổ đề sau :
Cho $a,b,c\in\mathbb{Z^+}$ , khi đó ta có :$$a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)}$$với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của $a,b$ và $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$
Gửi bởi anh qua trong 25-03-2014 - 13:39
Gửi bởi anh qua trong 24-10-2013 - 23:04
Gửi bởi anh qua trong 30-09-2013 - 22:56
@barcavodich: đề nghị chú không nên up bài thầy mới cho lên đây.
@tuan10121993: lâu lắm mới thấy anh on , anh là thần tượng của em trên VMF hồi cấp hai
Gửi bởi anh qua trong 22-08-2013 - 19:24
Bài này đúng là không biết bổ đề thì chỉ có ăn hành Chú học gì mấy thứ này, biết thôi chứ thi cử ngoài IMO chắc chả dùng :-j Bổ đề này anh thấy giống giống cái phân bố tập hợp trong sách của anh Tân (nhớ mài mại là thế chứ thực cũng chả nhớ nó là cái gì), thử cm bổ đề này thì anh lại nghĩ đến hàm liên tục
Với một số $k$ bất kì thì dĩ nhiên là $\frac{1}{a_1} \le k$, vì $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{n}{a_n})=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ mà $\frac{n_0}{a_{n_0}} \le k < \frac{n_0+1}{a_{n_0+1}}$ từ đây suy ra đc là $\frac{n_0}{a_{n_0}} = k $
Sử dụng vào bài toán thì có thể thấy là tồn tại $n$ thỏa mãn. Nhưng thử cho $p=2,m=1$ hoặc $p=m=1$ thì thấy vế vô hạn có vẻ không đúng lắm thì phải :-?
Thực ra em làm một bài thấy cái bổ đề này hay hay nên chế lung tung thôi chứ cái này thì ở VN làm gì thi đến :v
Gửi bởi anh qua trong 11-08-2013 - 23:05
Hint.
Bổ đề. Cho dãy nguyên dương không giảm $(a_{n})$ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{a_{n}}{n})=0$. Chứng minh rằng dãy $\frac{n}{a_{n}}$ chưa tất cả các số nguyên dương.
Gửi bởi anh qua trong 09-08-2013 - 22:29
Gửi bởi anh qua trong 12-06-2013 - 17:30
Pro44. Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC, P$ là điểm di động trên $AD, E,F$ là giao điểm của $AB,PB$ và đường tròn đường kính $BD; Z$ là giao của $PC$ và đường tròn đường kính $CD$. Chứng minh rằng $(EFZ)$ đi qua một điểm cố định
Gửi bởi anh qua trong 23-05-2013 - 16:02
Cho $\vartriangle ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(X_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(AEF)$ tại $A_1$ và tiếp xúc $AE,AF$. Xác định tương tự, ta có $(X_b),B_1,(X_c),C_1$.
Chứng minh rằng: $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.
Gọi $(Y_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) tại $A_2$ và tiếp xúc trong với AB,AC.
Chú ý, $A$ là tâm vị tự biến $(I)$ - nội tiếp $ABC$ thành $(Y_a)$, $A_2$ là tâm vị tự biến $(Y_a)$ thành $(ABC)$.
Do đó $AA_2$ đi qua tâm vị tự biến $(I)$ thành $(ABC)$, tương tự có $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy.
Chú ý; $AA_1$ và $AA_2$ là hai đường đẳng giác
Do đó $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.
Đoạn lí luận $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy có thể dùng tâm tỉ cự sẽ tường minh hơn
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học