minhtoan

Cám ơn minhtoan… Nhiều bài quá, trong khi không có thời gian post đầy đủ lời giải nên nêu hướng giải quyết vậy…
Tất cả các bài này chú ý xét $P$ là hằng số…
$1.$Hãy chứng minh nếu $P$ tồn tại thì $P$ vô nghiệm thực. Đặt $P(x)=a(x^2+1)^n+Q(x)$ với $a$ khác $0$. Hãy chỉ ra $Q$ đồng nhất $0$.
2. Có thể sử dụng phương pháp mình đã trình bài ở bài mà mình đã góp ý cho chuongpbc. Kết quả $P(x)=(x^2+x)^n$.
3. Trừ hai vế cho $(x+1)^2$ rồi đặt $Q(x)=P(x^2)-x^2$ thì $Q$ là hằng số (lý luận ngắn thui), suy ra $P(x)=x+c$ với mọi $\large x \geq 0$, suy ra $P(x)=x+c$ với mọi $x$.
Các bài ở trên đều có thể giải được bằng phương pháp số phức hoặc sử dụng bổ đề của Tân.

Mình chưa check lời giải của TamTam nhưng chắc là không sai . Đúng là tất cả các bài này đều có thể giải bằng phương pháp số phức. Mình cũng có một bài đa thức hệ số phức trông cũng tạm, TamTam nếu rảnh thì vào giải quyết luôn nhé!
Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số phức thỏa mãn: $P(x)P(-x)=P(x^2)$

cho tập S= {1,2,3...$3^{k}$}
giả sử A là tập con của S và A $ \geq 2^{K}$
chứng minh rằng tồn tại ba số a,b,c thuộc A sao cho a+c=2b

Đề không chính xác! Phải là $|A|\geq 2^{k}+1$ mới đúng.

CÒn bài trên báo THTT thì sao ạh
Tìm tất cả đa thức hệ số thực t/mãn
$ P(x).P(x+1)=P(x^2+2)$ với mọi x R

Bài tháng mấy thế dtdong?

Thấy TamTam nhiệt tình với các bài đa thức dạng này quá, mình xin đóng góp thêm vài bài có dạng tương tự, TamTam giải quyết nốt luôn nhé
Bài 1: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho $P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)$
Bài 2: Tìm tất cả đa thức có hệ số thực $P(x)P(-x)=P(x^2-1)$
Bài 3: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho $P((x+1)^2)=P(x^2)+2x+1$

Chứng minh phản chứng điều gì?