DreamWeaver

Bài 2 tớ dùng Cô si :
$f(x) = \sqrt{(x+2)(2x+1)} + \sqrt{4(x+3)} - 2x \leq \dfrac{x+2+2x+1}{2} + \dfrac{4+x+3}{2} -2x = 5$
max f(x)=5 dấu = có khi x=1.

Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Các đường trung tuyến AA' , BB' , CC ' kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$. Chứng minh rằng :
$\dfrac {3}{R} \leq \dfrac{1}{GA_1} + \dfrac{1}{GB_1} + \dfrac {1}{GC_1} \leq \sqrt{3} ( \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{BC} + \dfrac{1}{CA} )$

Mod. Cảnh cáo bạn, chú ý tiêu đề nhé.

Câu 1 : Giải hệ pt :
$\left\{ \begin{array}{l} y + xy^2 = 6x^2 \\ 1 + x^2y^2 = 5x^2 \end{array} \right.$

Câu 2 : Gọi $x_1,x_2 $ là 2 nghiệm của pt $x^2 - 4x + 1 = 0$ .
Chứng minh số $S = x_{1}^{2002} + x_{2}^{2002}$ không phải là số chính phương nhưng có thể phân tích được thành tổng của 3 số chính phương liên tiếp

Câu 3 : Trong tất cả các tam giác nhọn ABC nội tiếp trong 1 đường tròn bán kính 1, hãy tìm tam giác làm cho biểu thức :
F = $ \dfrac{1}{m_a} + \dfrac{1}{l_b} + \dfrac{1}{h_c} $ đạt GTNN
Trong đó : $ m_a;l_b;h_c $ lần lượt là độ dài các đường : Trung tuyến kẻ từ A; phân giác trong của góc B và đường cao hạ từ C

Câu 4 : Cho $f(x) = x^4 + ax^3 +bx^2 + cx + d$ với a,b,c,d R.
Biết f(1) = 10 ; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính : $P = \dfrac{1}{10} [f(12) + f(-8) ] + 18$

Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn :
$ 3x^2 + 3y^2 - 2xy + 2x + 2y - 8 = 0 .$
Tìm max và min của biểu thức : $T = x+ xy + y$

Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn :
$ 0 < b < a \leq 2$ và $2ab \leq 2b+a$
Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 \leq 5 $

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Bắc Giang
Năm học 2005-2006

Bài 1 : (4đ)
1) Cho $x,y$nguyên dương thỏa mãn phương trình $2^x + 153 = y^2 $
2) Cho a,b,c là 3 số thực dương không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng :
$ \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} + \dfrac{1}{1+c^3} $ $ \dfrac{3}{1+abc} $

Bài 4 :(6 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30 độ. O là 1 điểm nằm trên đường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn AC,AB tại các điểm tương ứng E,F. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BO,OF,BF,CE.
1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp
2)Chứng minh tam giác MNQ đều
3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng.

Bài 5 : (2 điểm)
Cho đa giác lồi 2006 cạnh, các đỉnh của nó được đánh số theo thứ tự từ 1,2, đến 2006. Người ta lại dùng đúng các số 1,2,...,2006 để đánh số lại các đỉnh theo quy tắc :đỉnh được đánh số 1 (lần đầu) được đánh số 2005, các đỉnh còn lại đánh tùy ý sao cho mõi một đỉnh được đánh đúng 1 số trong tập hợp các số {1,2,...,2004,2006}. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu số giữa số mới và số đánh ban đầu tại mỗi đỉnh của đa giác đó. Xét tính chẵn,lẻ của S.

-----------------------------------
Mời các bạn thảo luận tại đây:
Bài 1
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5