inhtoan

Bài toán: Xét sự hội tụ của tích phân: $$I=\int_{0}^{1}\dfrac{ln\left ( 1+\sqrt[3]{x} \right )}{e^{sinx}-1}dx$$

Tích phân có 1 điểm bất thường là x=0. Khi $ x \to 0^+ $, ta có
$\begin{array}{l}\ln (1 + \sqrt[3]{x})\ \sim\sqrt[3]{x} \\{e^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - 1\ \sim \sin x\ \sim x \\\end{array}$
Do đó $\dfrac{{\ln (1 + \sqrt[3]{x})}}{{{e^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - 1}}\ \sim {\left( {\dfrac{1}{x}}\right)^{\dfrac{2}{3}}}$
Ở đây, vì $\alpha = \dfrac{2}{3} < 1 $ nên I hội tụ.

Ta có $I = \int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {\dfrac{{2{{\ln }^3}x}}{x}dx} $
Xét $\int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx } $
Đặt $u = {\ln ^4}x \Rightarrow du = 4\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}dx$
$dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2}}}{2}$
Do đó
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}l{n^4}x}}{2}} \right|_1^e - \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2{{\ln }^3}xd(\ln x)}$
$ = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \left. {\dfrac{{{{\ln }^4}x}}{2}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{1}{2}.$

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{lnx}}{{sin\left( {cos\left( {x - 1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)}} \\
\mathop = \limits^{L'} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{-x\sin \left( {x - 1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos \left( {cos\left( {x - 1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)}} = -1. \\
\end{array}$

vì chúng là hai vô cùng bé tương đương khi x dần đến + vông cùng

Chưa hiểu ý bạn lắm, bạn có thể giải thích kĩ hơn ko ?

Ví dụ cho một bất phương trình $ x^2+(m+3)x-5>0$ có 2 nghiệm phân biệt thoả
a/$x_1<x_2<10$ b/$x_1<5<x_2$ Nếu không cho xài định lý đảo dấu tam thức bậc 2
Trong trường hợp x1<x2<3 thì mình đã có hướng giải quyết là chuyển trục toạ độ bằng cách đặt X=x+3, rồi chỉ cần tìm m cho phương trình mới có 2 nghiệm dương thôi
Còn trường hợp x1<5<x2 sử dụng định lý đảo dấu của tam thức bậc 2 cho af(5)<0 là quá dễ, nhưng mà nếu không cho xài thì phải giải quyết thế nào ạ, nếu phải tính 2 nghiệm rồi giải bất phương trình thì nếu gặp bài nghiệm quá xấu sẽ không giải quyết được

Ý bạn là giải pt ?
Mình nhớ trong cuốn "NC và PT toán 9" có đề cập đến cách đặt ẩn để áp dụng định lí Vi-et cho những bài toán như thế này

Chẳng hạn tìm m để pt $ x^2+(m+3)x-5=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1<x_2<10\,\,\,\,\,\,(1)$ thì ta đặt
$y=x-10 => x=y+10$
Khi đó pt đã cho trở thành $y^2+(m+23)y+10m+125=0$
Do đó để pt ẩn x có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn (1) thì phương trình ẩn y phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $y_1<y_2<0$, tức là pt ẩn y phải có 2 nghiệm phân biệt cùng âm. Điều đó tương đương với
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {(m + 23)^2} - 4(10m + 125) > 0\,\\S = - (m + 23) > 0\\P = 10m + 125 < 0\end{array} \right.$

Tương tự cho trường hợp $x_1<5<x_2$ ta đổi biến $y=x-5$ để đưa đk về $y_1<0<y_2$, tức là pt ẩn y phải có 2 nghiệm trái dấu.

p/s: Có thể sự giải thích ở trên chưa thực sự giải đáp được thắc mắc của bạn, mong được bạn trao đổi thêm.