inhtoan

Câu 1 (2 điểm) . Cho biểu thức
$P = \left( {\frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} + \sqrt {a - b} }} + \frac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} - a + b}}} \right).\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}$
với a>b>0.
a) Rút gọn P.
b) Biết $a-b=1$. Tìm GTNN của P.

Câu 2 (2 điểm). Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B về A, Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô tô.

Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabo $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-m-2$ (m là tham số).
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$.
b) Tìm m để $|x_1-x_2|=\sqrt{20}$.

Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC. Đường tròn $(\omega )$ có tâm O và tiếp xúc với các đoạn thằng AB, AC tương ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn $(\omega )$ tại điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt các đường thằng AL, AK tương ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM tại P vằ cắt ON tại Q.
a) Chứng minh $\widehat{MON} = {90^0} - \frac{1}{2}\widehat{BAC}$.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua 1 điểm.
c) Chứng minh KQ.PL=EM.EN.

Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$. Tìm GTNN của biểu thức $P=x+y$.
__
Tải đề ở đây (nguồn Mathscope)

Cho hàm số
$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}arctan\frac{1}{x},x \ne 0 \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0\, \\\end{array} \right.$
Chứng minh $f'(x)$ liên tục với mọi x.

Tính $\int\limits_1^2 {{{{\rm{(arccot}}\sqrt {x - 1} )}^2}dx}$

Tính $\int {\frac{{x\ln (1 + 3x)dx}}{{{e^{3x}}}}} $

Trong một số bài toán về tích phân suy rộng, mình gặp phải lời giải có phần suy luận như sau nhưng lại chưa rõ tại sao lại có được điều đó. Mong được mọi người giải thích thêm. ^^
1) Khi $x \to + \infty$ thì $\dfrac{arctanx}{x^\alpha} \sim \dfrac{1}{x^\alpha}$.

2) Khi $x \to + \infty$ thì $\dfrac{ln^\alpha(2+3x)}{1+2x} \sim \dfrac{3}{2}.\dfrac{ln^\alpha(2+3x)}{2+3x}$.