Tìm kiếm
Bí mật
Ta định nghĩa connecting homomorphism $\partial : H^1 ( X , \mathcal{O}^{ \large { \star }} \rightarrow H^2 ( X , \mathbb{Z} ) $ như là the first Chern class, it assigns to the equivalence class of complex line bundle L its first Chern class $c_1(L) \in H^2(X,\mathbb{Z})$. Nếu E là 1 complex vector bundle of rank r, vậy ta có 1 projective fibration $p : \mathbb{P}(E) \rightarrow X$ cũng như universal quotient bundle $p^{\large{\star}}E \rightarrow \mathcal{O}_E (1)$. Pullback của cohomology $p^{\large{\star}}: H^{\large{\star}}(X, \mathbb{Z}) \rightarrow H^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E) , \mathbb{Z}) $ định nghĩa cho ta 1 mở rộng vành hữu hạn ( Extension of rings ). Gọi $c_1(\mathcal{O}_E (-1)) = \xi$, then we have $H^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E),\mathbb{Z}) = \Bigoplus_{k=0}^{r-1} \xi^k \cup p^{\large{\star}}H^{\large{\star}}(X , \mathbb{Z})$. Do đó tồn tại các classes $c_i(E) \in H^{\large{\star}}(X ,\mathbb{Z})$ thỏa mãn $\xi^r + p^{\large{\star}}c_1(E) \xi^{r-1} + ... + p^{\large{\star}}c_r (E) = 0$ và ta gọi $c_i(E) \in H^{2i}(X, \mathbb{Z})$ là Chern classes của vector bundle E.
Trong hình học đại số:
Chúng ta hãy định nghĩa Chern classes trong Chow ring như sau: Với $D \in Div(X)$ ta gọi Line bundle $L = \mathcal{O}_X(D)$ và đặt $c_1(L) = [D] \in CH^{1}(X)$, với $CH^1(X)$ là the first Chow group. Xét projection fibration như trên we get finite ring homomorphism $p^{\large{\star}} : CH^{\large{\star}}(X) \rightarrow CH^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E))$. Ta định nghĩa Chern classes thông qua Segre classes như sau: đặt $\xi = c_1(\mathcal{O}_E(1))$ và Segre class $s_k(E) = (-1)^k p_{\large{\star}}\xi^{r-1+k} \in CH^{k}(X)$. So we get the total Segre class $s(E) = \Bigsum_{k \geq 0} s_k(E) $, then set the total Chern class như là $c(E) = \dfrac{1}{s(E)}$, do đó $c_k(E)$ không gì khác hơn là homogenous part của total Chern class.
And in the viewpoint of complex geometry thì:
Nếu gọi $A^k(E)$ là không gian vector phức của các k-forms lấy giá trị trong E, ta chọn 1 connection (liên thông) $\nabla : A^k(E) \rightarrow A^{k+1}(E) $ thỏa mãn Leibniz rule: $\nabla(\alpha . e ) = d \alpha . e + (-1)^k \alpha . \nabla(e) $, với $\alpha$ là k-form, còn e là section. Điều này dẫn tới ta có 1 $A^0$-Module homomorphism $\nabla^2 : A^0(E) \rightarrow A^2(E)$ và exterior map $\wedge^k(\nabla^2) : A^0(E) \rightarrow A^{2k}(E). $, so we can define the Chern class as the cohomology classes in the complex De Rham Cohomology: $c_k(E) := [ (\dfrac{i}{2 \pi})^k Trace( \wedge^k(\nabla^2))] \in H^{2k}_{DeR}(X , \mathbb{C}) $
Sau đây xin nhường các cao thủ về Kähler Geometry vào làm vài đường về Chern class trong Dobeault Cohomology, kỹ thuật dòng, SUSY, Einstein Manifolds cho QC được lãnh giáo.
Ps: To Alexi: Nếu được xin mời Alexi làm 1 đường về Intersection Forms, Intersection theory plz!!!
- bangbang1412 yêu thích
