Lee Sr

Đề thi và đáp án Đại học môn Toán các khối A,B,D từ năm 2002-2009 và Đề dự bị môn toán từ năm 2005-2008

Chuyên đề gần 40.000 lượt xem trên scribd và 4000 lượt xem trên diễn đàn ,nay minh up bản PDF để các bạn tiện tra cứu

MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ QUY VỀ HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

Trước hết chúng ta có các bài toán cơ bản sau đây
Bài 1)Giải phưong trình
$y=\sqrt[3]{2x-1}$ quy về hệ phương trình đối xứng loại 2
$y^{3}+1=2x$
$x^{3}+1=2y$Đến đây thì công việc còn lại hoàn toàn đơn giản
Bài 2) Giải phương trình
$x+3(2-3x^{2})^{2}=2$
Giải:
Đặt $y=2-x^{3}$ ,quy về hệ đối xứng loại 2
$x=2-3y^{2}$
$y=2-2x^{2}$
Bài 1 và bài 2 là những ví dụ rất cơ bản về phương pháp này,nhưng chúng ta có thể thấy rằng chúng thật dễ nhận biết khi biểu thức chứa trong căn "rất đẹp".Nhưng với những bài khéo hơn ,tinh tế hơn thì việc đặt ẩn phụ như thế nào cho thích hợp thì không phải là điều đơn giản.Dưới đây sẽ là ví dụ minh họa :
Bài 3)
Giải phương trình
$\sqrt{2x+1}=y$ được,vậu chúng ta thử chuyển phương trình này thành hệ đối xứng loại 2 bằng cách
Đặt $\sqrt{2x+1}=ay+b$ với các hằng số a,b nào đó
Vậy
$4x^{2}-12x+ay+b+5=0$
$a^{2}y^{2}+2aby-2x+b^{2}-1=0$
Xác định a,b sao cho hệ trên là hệ đối xứng loại 2 tức là:
$\sqrt{2x+1}=-2y+3$ với điều kiện $2x^{2}-6x-y+4=0$
$2y^{2}-6y-x+4=0$Đến đây thì coi như xong nên chúng ta bỏ qua
Vì phương pháp trên cũng ko có gì nhiều nên về ví dụ imathsvn xin dừng ở đây và
Để cảm thấy phương pháp trên khá hữu hiệu ,imathsvn xin đựoc đưa ra một số phương trình cho các bạn tham khảo
Bài 4)Giải phương trình (Đề đề nghị Olympic 30-4 lần thứ năm )
$7x^{2}+7x=\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}$

Một mạng đường giao thông gồm một số tuyến xe buýt thỏa mãn:
a) Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên 1 tuyến xe buýt nào đó;
b) Hai tuyến xe buýt chỉ có đúng 1 bến xe chung;
c) Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất 3 bến xe;
Có 7 bến xe buýt. Chứng minh rằng số bến xe trên mỗi tuyến bằng nhau .Tính số xe trên mỗi tuyến này

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

CHÙM BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CĂN

$1) \large \sqrt{17+5 \sqrt{4x^{2}-16} } +x^{2} \sqrt{7-x}=3$

$2) \large \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+ \sqrt{2} } =2$

$3) \large \dfrac{2x-8}{ \sqrt{6-x} } + \sqrt{6-x} =3 \sqrt{x-4} $

$4) \large \sqrt[3]{25+ \sqrt{x^{2}+3} }=3$

$5) \large \sqrt{5- \sqrt{x+1+ \sqrt{2x^{2}+x+3} } } =1$

$6) \large x \sqrt{36x+1261} =18x^{2}-17x $

$7) \large \sqrt{ \dfrac{1+2x \sqrt{1-x^{2}} }{2} } +2x^{2}=1$

$8) \large \left\{\begin{matrix}x^{3}- \sqrt{y}=1\\ 5x^{6}+2y-8x^{3} \sqrt{y} =2 \end{matrix}\right.$

$9) \large \left\{\begin{matrix}(3x+y)^{x-y} =9\\ \sqrt[x-y]{324} =18x^{2}+12xy+2y^{2} \end{matrix}\right.$

$10) \large 2x+7= \sqrt[4]{4x-3} +4 \sqrt{x+3} $

$11) \large \sqrt{x^{2}+1}=x^{2}+x+ \sqrt{2x^{2}+x+1} $

$12) \large (x^{2}+3x)-(2x+4) \sqrt{x^{2}+3x} +8x=0$

$13) \large \sqrt{2x^{2}+x+6}+ \sqrt{x^{2}+x+6}=x+ \dfrac{4}{x} $

$14) \large \sqrt{x} + \sqrt[3]{x+7}= \sqrt[4]{x+80} $

$15) \large x^{3}-3x^{2}-8x+40-8 \sqrt[4]{4x+4} =0$

CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

MỤC 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
1.1Dạng : $x^{2}(3+5t-4t^{2})=38$
$x^{2}(5-9t-3t^{2})=15$
Giải ra ta tìm được $x^{2}+y^{2}=xy+1$(1)
$2x^{3}+3x^{2}y=5$
$y^{3}+6xy^{2}=7$
Bài 4:
$(2x+y)(x-3y)=-5$
$(x+2y)(3x-y)=30$
Mục 2: HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH
2.1 Phương phap giải : Đánh giá 1 biến rồi từ đó đánh giá các biến khác để suy ra điều mâu thuẫn (thường là ta đã đoán trước được nghiệm và sẽ cm không có nghiệm nào khác thoả mãn)
2.2 Các ví dụ và bài tập
Bài 1:Tìm nghiệm dương của hệ
$x+y=2z^{2005}(1)$
$y+z=2x^{2005}(2)$
$z+x=2y^{2005}(3)$
Cộng theo vế 3 phương trình thu được
$2(x+y+z)=2(x^{2005}+y^{2005}+z^{2005}$
Ta sẽ cm x=1.Thật vậy ta có:
Nếu x>1 thì (2)suy ra y+z>2 suy ra 1 trong 2 số phải lớn hơn 1
Nếu y>1 (1) suy ra$x_{1}+\dfrac{1}{x_{1}}=2x_{2}$
$x_{2}+\dfrac{1}{x_{2}}=2x_{3}$
.....
$x_{2005}+\dfrac{1}{x_{2005}}=2x_{1}$
Xét $x_{1}>0$ suy ra $x_{2}>0....x_{2005}>0$
Áp dụng bdt côsi cho 2 số $x_{2}>=1$
Tương tự $2x_{1}-5x_{2}+3x^{3}=0$

$2x_{2}-5x_{3}+3x^{4}=0$
.....

$2x_{2005}-5x_{1}+3x^{2}=0$
Bài 4:Giải hệ phương trình
$X^{2}-SX+P=0$
3.1.4 Các ví dụ và bài tập
Bài 1:Giải hệ phương trình
$x^{2}y+y^{2}x=2$
$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{5}{2}=0$
$ĐK: x,y \neq 0 \Leftrightarrow SP=2$

$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+y^{2}=49$
$x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+y=5$
3.2 Hệ đối xứng loại 2 :
3.2.1:Là hệ phương trình mà nếu hoán vị x,y thì phương trình này biến thành phương trình kia của hệ
3.2.2 Phương pháp giải:
Trừ vế với vế của 2 phương trình của hệ ta được phương trình có dạng (x-y)g(x,y)=0.Từ đó ta đợc 2 hệ ,trong đó có 1 hệ đối xứng loại 1
3.2.3 Các ví dụ và bài tập :
Bài 1:
$x^{2}=13x+4y(1)$
$y^{2}=13y+4x(2)$
(1)-(2) ta được $(x-y)(x+y)-13(x-y)+4(x-y)=0$
$x=y^{2}-y$
$y=x^{2}-x$
$x^{3}=3x+8y$
$y^{3}=3y+8x$
b)$-x^{2}$ và -$\dfrac{1}{y^{2}}$ còn ta thấy sau khi chuyển vế thì ta có \$x^{2}+3y=9$
$y^{4}+4(2x-3)y^{2}-48(x+y)+155=0$Bài 2:
Bài 2:
$x+y+z=1$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
$x^{5}+y^{5}+z^{5}=1$
Bài 4:
$xy+yz+xz=1$
$x+y+z=2$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=8$
Bài 7:
$x^{3}+y^{3}=1$
$x^{4}+y^{4}=1$
Bài 8:
$x+y= \dfrac{3}{2} $
$ \sqrt{x^{2}+9} + \sqrt{y^{2}+9}=10$
Bài 9:
$\sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} =x^{2}-8x+18$

"bé" MCmath có đề nghị imathsvn post bài về phương trình bậc 3 và 4 nên imathsvn post phương pháp giải ở đây :
Phương trình bậc 3 có dạng
$x^{3}+rx^{2}+sx+t=0$

Bước 2:Đặt$u^{3}+v^{3}=-q
uv= \dfrac{-p}{3}$

Nếu $\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}>0$ thì phương trình có 1 nghiệm

$y= \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2}+ \sqrt{\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}} } - \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2}- \sqrt{\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}} $

Nếu $\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}=0 $ có 3nghiệm

$y_1=2 \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2$
$y_2=y_3=- \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2$

Nếu $ \dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}<0$ thì có 3 nghiệm phân biệt

$y_1=2 \sqrt[3]{u}cos \dfrac{ \gamma}{3}$

$y_2,y_3 $các bạn tự tính nốt nhé

Các em có thể làm 2 bài này ,tuy hình thức giống nhau nhưng cách giải khác nhau:
Bài 1: Giải hệ phương trình

Bài 2: Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}x_1- \dfrac{1}{x_1}=2x_2\\...\\x_{n-1}- \dfrac{1}{x_{n-1}}=2x_n\\x_n-\dfrac{1}{x_n}=2x_1\end{array}\right.$

Mình có ý kiến là thế này,đây là topic dành cho các bạn nhỏ thi vào lớp 10 nên nó phải thực sự có ích.Điều đầu tiên là các bài đưa lên ko mang tính chất đánh đố(Còn có bạn nào muốn thì có thể vào chuyên mục khác để đố),thứ hai là bạn nào có khả năng thì viết theo chuyên đề mà mình tâm đắc trên cơ sở vừa giúp đỡ vừa học hỏi.Còn những bài nào các bạn sáng tác hoặc chế tác(như thế thì tốt hơn,bê y sì trong sách thì ko hay lắm)thì nên bình luận ,trao đổi đôi chút(ví dụ như tổng quát bài toán hay mở rộng vấn đề) chứ theo mình nghĩ ko nên viết vài dòng qua quýt ..cho xong chuyện nhỉ .Mình có ý kiến thế thôi,các bạn nghĩ sao?
P/S:Imathsvn thấy topic cho THCS nhạt quá ,chắc một phần do web này chưa đến với các bạn THCS (Hồi lớp 9 mình cũng ko biết tí gì về trang này cả),ở đây toàn lớp 10 thôi ah

Khong ngo imathsvn lap cai topic nay lai duoc các em nhỏ hưởng ứng nhu vay ,các bác :toandang ,haidang ,chau ngoan bac ho,tammaohepho,.... dau het ca rui ,mau mau giup suc cho cai topic "Luyen thi vao lop 10 " them hứng thú đi nào(imathsvn thiết nghĩ cái topic này 1 phần giúp các chiến sĩ nhỏ luyện thi cho đỡ phải vào lò luyện và âu cũng là để mấy pác cấp 3 "ôn lại kỉ niệm xưa nhỉ" - )
P/S:Mấy em cấp 2 đã có những đề thi của các trường chuyên chưa nhỉ?,khi nào rỗi imathsvn post lên cho(Dạo này thi HK1 nên imathsvn bận lắm)

Nghe tiêu đề có vẻ giống lò luyện quá nhỉ Trong lúc chờ đợi các anh quản lý mở riêng một chuyên mục dành cho các bạn cấp 2 thi vào chuyên cấp 3 ,tui mở cái topic này trước vậy.Mong mọi người cho ý kiến và xây dựng diễn đàn ngày càng tốt hơn
P/S:Bạn nào có bài hay hoặc chuyên đề (do sưu tầm hoặc sáng tác) thì post lên nha

HE HE!mot tinh chat nua cua so 1089 nay,ney lay so 1089 nhan voi x(x la cac so tu 1 den 9) thi so nguoc lai se la 1089 nhan (10-x) ,hinh nhu toi nho khong nham day goi la so bap benh thi fai.Neu ban chay Pascal thi se tim ra vo khoi so co tinh chat nhu the nay