nasho_god

Thầy cô nào có chứng minh công thức lăng trụ lệch tam giác $V=S.\left(\dfrac{a+a'+a''}{3}\right)$ trên toán học và tuổi trẻ bài của Ngô Hân không ạ. Cho mình xin tham khảo với

Tìm min P=$\sqrt{x^2-2x+2}+\sqrt{x^2-8x+32}+\sqrt{x^2-6x+25}+\sqrt{x^2-4x+20}+\sqrt{x^2-10x+26}$

Mình làm như thế này không biết có đúng không? Mọi người góp ý

$P=\sqrt{(x-1)^2+1}+\sqrt{(x-4)^2+16}+\sqrt{(x-3)^2+16}+\sqrt{(x-2)^2+16}+\sqrt{(x-5)^2+1}$

Gọi $\overrightarrow{a}=(x-1;1); \overrightarrow{b}=(4-x;4); \overrightarrow{c}=(x-3;4) ;\overrightarrow{d}=(x-2;4); \overrightarrow{e}=(5-x;1)$

Áp dụng bđt tam giác ta có: 

$P=\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{e} \right |+...\geqslant \sqrt{4^2+2^2}+\sqrt{2^2+8^2}+\sqrt{(x-3)^2+4}\geqslant\sqrt{20}+\sqrt{68}+2$

Dấu "=" đạt được tại x=3

Đặt x=sint, y=cost

Ta được: $\left ( 2P-1 \right )sint-\left ( P+2 \right )cost=-4P$

Đến đây sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất với sint và cost là được

ĐK: bạn tự đặt

Để ý rằng: $\left ( \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x} \right )^{2}=4+2\sqrt{3+4x-4x^{2}}$

và: $\frac{1}{4}\left ( 4x^{2}-4x+3 \right )\left ( 2x-1 \right )^{2}=\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{2}+\frac{\left ( 2x-1 \right )^{4}}{4}$

Từ đó dùng hàm số hoặc trực tiếp biến đổi ta được: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{2}$

Đặt ẩn phụ: $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{2x+1} & \\ b=\sqrt{3-2x} & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=4 & \\ 8\left ( a+b \right )=\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2} & \end{matrix}\right.$

Đến đây hệ đối xứng loại 1 rồi.

Câu 3 đi bạn

Cũng vẫn đẩy về hệ đối xứng thôi. ĐK: $-1\leqslant x\leqslant 1$

Đặt: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+x}=a & \\ \sqrt{1-x}=b & \end{matrix}\right.$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=2 & \\ a^{3}+b^{3}=2+ab & \end{matrix}\right.$

Tiếp tục là hệ đối xứng. Câu 1 hệ đối xứng bạn cứ quy đồng rồi đặt ẩn phụ

$\left\{\begin{matrix}u=a+b & \\ v=a.b & \end{matrix}\right.$

ĐK: $-1\leq x\leqslant 1$

Đặt $x=sint$, $t\in \left [ \frac{-\Pi }{2};\frac{\Pi}{2} \right ]$

Thay vào ta có PT: $\sqrt{1-sint}=sin2t-cos2t$

$\Leftrightarrow \left | sin\frac{t}{2}-cos\frac{t}{2} \right |=sin2t-cos2t$

Với ĐK t ta được $\frac{-\Pi}{2}\leqslant \frac{t}{2}-\frac{\Pi }{4}\leqslant 0$

Phá trị tuyệt đối được: $cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2}=sin2t-cos2t$

Đến đây Ok rồi. Nghiệm là $sin\frac{\Pi }{5}$

Đặt $\left\{\begin{matrix}a=x^{2}+y^{2}-1 & \\ b=\frac{x}{y} & \end{matrix}\right.$

Chuyển về hệ rồi rút thế được nghiệm $b=\frac{7}{2}; a=7$ hoặc $b=3; a=9$

Tiếp tục rút thế sẽ tìm được nghiệm

a. PT$\Leftrightarrow 2x^2-3x+7=3\sqrt[3]{4x+4}$

Do đó ĐK: x>-1

$PT\Leftrightarrow 2\left ( x-1 \right )^{2}+x+5-3\sqrt[3]{4x+4}=0$

Giờ bạn liên hợp sẽ được PT:

$\left ( x-1 \right )^{2}\left ( 2+\frac{x+17}{...} \right )=0$

PT có nghiệm duy nhất x=1. 

ĐK: $m\left ( 2x+1 \right )>0$

Dễ thấy $x=\frac{-1}{2}$ không là nghiệm của phương trình với mọi m

PT: $\Leftrightarrow \frac{\left ( x^{2}-3x-4 \right )^{2}}{2x+1}=m$

Đặt VT=f(x). $f'\left ( x \right )=2\left ( x^{2}-3x+4 \right )\left ( 3x^{2}-x-7 \right )$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{85}}{6}$

Lập bảng biến thiên chú ý điểm $x=\frac{-1}{2}$ suy ra: $m=f\left (\frac{1\pm \sqrt{85}}{6} \right )$

2. Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+x}=a & \\ \sqrt{1-x}=b & \end{matrix}\right.$

Đưa về hệ: $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=2+ab & \\ a^{2}+b^{2}=2 & \end{matrix}\right.$

Hệ đối xứng loại 1

4. ĐK: $x\geq -1$

Đặt: $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{2-x} & \\ b=\sqrt{x+1}  \end{matrix}\right.$

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}a-b-1=0 & \\ a^{3}+b^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

Rút thế được: $\left ( a^{2}-2 \right )\left ( a+1 \right )=0$. Đến đây Ok rồi

1. ĐK: -5<x<5

PT$\Leftrightarrow \frac{3-x}{\sqrt{5-x}}+\frac{3+x}{\sqrt{5+x}}=\frac{4}{3}$

Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt{5+x}=b & \\ \sqrt{5-x}=a & \end{matrix}\right. a,b> 0$

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}\frac{a^{2}-2}{a}+\frac{b^{2}-2}{b}=\frac{4}{3} & \\ a^{2}+b^{2}=10 & \end{matrix}\right.$

Hệ đối xứng loại 1. OK rồi nhé

ĐK: $x\geq -1$

PT$\Leftrightarrow\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x-\sqrt{x+1} \right )+x^{2}-x-1=0$

$\Rightarrow \left ( x^{2}-x-1 \right )\left ( \frac{x^{2}+1}{x+\sqrt{x+1}}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-x-1 \right )\frac{x^{2}+x+1+\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=0$

Đến đây OK rồi. Nhớ thử lại sau khi lấy nghiệm vì là Pt hệ quả

3. ĐK: $x<\frac{3}{8}$

Chuyển vế rồi bình phương ta được PT: $x\left ( 7x-6 \right )\left ( 17x^{2}+9 \right )=0$

Bạn tự giải tiếp nhé.

1. ĐK: $-1\leq x\leq 3$

Sử dụng BĐT bunhia ta có: $VT^{2}\leqslant \left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1+3-x \right )=4\left ( x^{2}+1 \right )$

Do đó PT có nghiệm nếu dấu bằng trong BĐT xảy ra: $x=\sqrt{\frac{x+1}{3-x}}$

ĐK: $x\geqslant 0$. BP2 vế nhẩm được nghiệm x=1. Ta được: $x=1; x=1+\sqrt{2}; x=1-\sqrt{2}(L)$