HeilHitler

Bài toán: Cho $x,y,z >0$ chứng minh rằng $\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$.

Bài 1: Có một chiếc hộp đựng bi đen và bi trắng, người ta chỉ biết chắc chắn trong hộp có $n$ viên bi trắng và không biết rõ số lượng bi đen. Cháu bé bốc ra tùy ý $k$ viên bi ($k \in N^*$, $k \leq n$) thì thấy toàn bi trắng. Tính xác suất để hộp này không chứa viên bi đen nào cả.

Bài 2: Tung một đồng xu $n$ lần. Tính kỳ vọng để đồng xu này ngửa đúng $k$ lần liên tiếp với $k \in N^*$ và $k \leq n$.

 

Câu 1: Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[a,b]$ và thỏa mãn:

$f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

Chứng minh rằng:

$f(\frac{a+b}{2})(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (\frac{f(a)+f(b)}{2})(b-a)$.

Câu 2: Cho $f:[a,b] \rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ luôn tồn tại số dương $\alpha$ và $c \in (a,b)$ sao cho:

$f( c)+f(c+\alpha)+...+f(c+n.\alpha)=(n+1)(c+\frac{n}{2}.\alpha)$.

Câu 3: Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên $[0,1]$. Chứng minh rằng:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}(\int_{0}^{1}f^n(x)dx)^{\frac{1}{n}}=\max_{x \in [0,1]}f(x)$.

Câu 4: Cho các số thực dương $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ thõa mãn:

$a_1^x+a_2^x+...+a_n^x \geq b_1^x+b_2^x+...+b_n^x$ với mọi $x$. Xét tính đơn điệu của hàm số:

$f(x)=(\frac{a_1}{b_1})^x+(\frac{a_2}{b_2})^x+...+(\frac{a_n}{b_n})^x$.

Câu 5: Cho hàm $u(x)$ dương liên tục trên $[0; \infty )$, hàm $\varphi \left( x \right)$ tăng và khả vi trên $[0;\infty )$, $\varphi \left( 0 \right)=1$
Biết rằng với mọi $x\ge 0$ ta có: $u\left( x \right) \le 1 + \int\limits_0^x {\frac{{\varphi '\left( t \right)}}{{\varphi \left( t \right)}}} u\left( t \right)dt$
Chứng minh: $u(x) \le \varphi \left( x \right)$ trên $[0;\infty )$

Bài 6: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho:

$$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$

Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$

Bài 7: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$.
2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$.
Chứng minh rằng:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$

Bài toán: Cho trước 2 số nguyên dương $m$ và $n$. Xét tập $A$ gồm $mn$ phần tử tùy ý nào đó:$A=${$x_1,x_2,x_3,....,x_{mn}$}. Một cách "phân hoạch đều" của $A$ là cách mà phân hoạch $A$ thành $n$ tập, mỗi tập có đúng $m$ phần tử. Hai cách phân hoạch đều của $A$ gọi là độc lập lẫn nhau nếu mỗi tập con được tạo ra từ cách phân hoạch này là đôi một khác nhau với các tập con tạo ra từ cách phân hoạch kia Ví dụ: Ta phân hoạch tập $A$ theo hai cách $L_1=${$A_1,A_2,...,A_n$} và $L_2=${$B_1,B_2,...,B_n$}. Thì hai cách phân hoạch này gọi là độc lập lẫn nhau nếu $L_1 \cap L_2=\varnothing $. Đếm số cách phân hoạch đều tối đa của $A$ sao cho với hai cách phân hoạch đều bất kỳ thì độc lập lẫn nhau.

Problem: Cho $m,n,p \in N^*$ và $m+n \leq p$. Xét đa thức bậc $m$ thõa mãn $f(i)=\frac{(-1)^i}{C^{n+i}_{p}}$ với mọi $i=0,1,....,m$. Chứng minh rằng:
$nf(-1)=\frac{p+1}{C^{n}_{p-m}}-\frac{p-n+1}{C^{n}_{p}}$.