Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Toanlc_gift

Đăng ký: 05-01-2009
Offline Đăng nhập: 08-07-2015 - 00:43
****-

#223831 Một Phương pháp Phân tích bình phương SOS

Gửi bởi Toanlc_gift trong 27-12-2009 - 18:23

đến bây giờ mình mới tìm ra nhược điểm của cách phân tích này,
từ biểu thức ban đầu:
$S = {S_a}{(b - c)^2} + {S_b}{(a - c)^2} + {S_c}{(a - b)^2}$
khi bạn thay $a=b$
thì $S = (S_a^{'} + S_b^{'}){(a - c)^2}$
nếu như biểu thức ${S_a};{S_b}$ mà là biểu thức phức tạp (trong đó các biến a,b,c "phân bố" đều) thì lúc đó
${S_a} \ne S_a^{'};{S_b} \ne S_b^{'}$
cách phân tích này chỉ đúng nếu ${S_c}$ là biểu thức đối xứng với hai biến $a,b$,tương tự với ${S_a};{S_b}$
cách này rất hiệu quả đối với những bất đẳng thức ba biến đối xứng dạng đa thức,nhưng nếu là phân thức chắc chắn sẽ không đơn giản
có thể cho ví dụ như sau:
xét biểu thức:
$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} - \dfrac{3}{2}$
khi cho $a=b$
biểu thức trở thành:
$\dfrac{{{{(a - c)}^2}}}{{2a(a + c)}}$
đến đây rất khó có thể đoán được giá trị của ${S_b} + {S_a}$
và ta phải giải một bài toán khác phức tạp không kém:
$S_a^{'} + S_b^{'} = \dfrac{{{{(a - c)}^2}}}{{2a(a + c)}}$
trong đó:
$S_a^{'} = f(a;a;c)$
và $f(a;b;c) = {S_a}$
----------------------------------------
còn nếu như biểu thức cần phân tích là biểu thức hoán vị thì công việc này lại trở nên cực kì khó khăn,bạn thử phân tích bình phương cho biểu thức này dựa vào cách trên xem:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} - 3$
:geq
cách phân tích này vẫn phải dựa vào dự đoán là chính :)


#203688 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi Toanlc_gift trong 02-07-2009 - 18:14

bài 3 còn có thể đưa về SOS như sau:
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{{(2b + a)(b - a) + (2c + a)(c - a)}}{{2{a^2} + bc}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \sum {(a - b)\left( {\dfrac{{2b + a}}{{2{b^2} + ac}} - \dfrac{{2a + b}}{{2{a^2} + bc}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow 2\sum {{{(a - b)}^2}} \left( {\dfrac{{(a + b)(a + b - c)}}{{(2{b^2} + ac)(2{a^2} + bc)}}} \right) \ge 0$
đưa về cùng mẫu số và đánh giá các hệ số cũng khá đơn giản :(


#203685 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi Toanlc_gift trong 02-07-2009 - 17:48

Bài 3:
khai triển,bđt tương đương với:
$\sum {ab({a^4} + {b^4}) + 3\sum {{a^2}{b^2}} } ({a^2} + {b^2}) - 8\sum {{a^3}{b^3} + 5abc\sum {ab(a + b) - 2abc\sum {{a^3}} - 24{a^2}{b^2}{c^2}} } \ge 0$
đưa bđt cần chứng minh về dạng cơ sở SOS,trong đó:
${S_a} = bc({(b + c)^2} + 3bc - a(b + c) + 4{a^2})$
${S_b} = ac({(a + c)^2} + 3ac - b(a + c) + 4{b^2})$
${S_c} = ab({(a + b)^2} + 3ab - c(a + b) + 4{c^2})$
dễ thấy các hệ số
${S_a};{S_b};{S_c}$
đều ko âm
do đó ta cóa đpcm,đẳng thức xảy ra tại tâm và tại biên
bài 5:
$VT \le \sum {\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}} \le \sum {\dfrac{1}{a}} \le \sum {\dfrac{a}{{bc}}}$
còn bài nào nữa nhể?


#199561 BDT thuần nhất

Gửi bởi Toanlc_gift trong 31-05-2009 - 13:01

Em lập topic nay mong được các bro chia sẻ về cách kiểm tra 1 BDT có thuần nhất hay ko?
Thanks

kiểm tra thì đơn giản lắm,bạn chỉ cần cho tất cả các biến bằng nhau r�#8220;i kiểm tra bậc của cả hai vế xem có bằng nhau không là được
ví dụ,trong bđt $\dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \ge 3$khi cho các biến bằng nhau thì bậc của cả hai vế đều là không,do đó bđt là thuần nhất
ví dụ 2:
$\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{a+c} +\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$
khi cho a=b=c thì bậc của cả hai vế cùng là 1 nên bđt thuần nhất
ví dụ 3:
$\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + {a^2}} \ge \sqrt 2 (a + b + c)$
khi cho $a=b=c$ thì cả hai vế đều là bậc 1 nên bđt thuần nhất (khi khai căn tức là chia đôi bậc ra ấy mà :P )
còn như bđt của bạn trong cái topic này bên maths.vn http://www.maths.vn/...ead.php?t=21824
thì không thể gọi là đồng bậc được,vì khi cho 3 biến bằng nhau thì vế trái là bậc 3,vế phải vừa là bậc 2,vừa là bậc 3 => bđt của bạn không thuần nhất
không phải bđt không thuần nhất là luôn luôn sai,ví dụ như bđt này,tuy không thuần nhất nhưng nó vẫn đúng:
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2(ab + bc + ca)$
hoặc là
$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + bc + ca)$
hiểu theo kiểu này thì có lẽ là dễ vào đầu hơn là kiểu dựa vào định nghĩa :P
p/s: hãy thank nếu thấy hay :P


#196676 Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ

Gửi bởi Toanlc_gift trong 02-05-2009 - 14:33

Còn rất nhiều nữa,ví dụ này:
${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a - a{b^2} - {b^2}c - {c^2}a = -(\dfrac{{{{(a - b)}^3} + {{(b - c)}^3} + {{(c - a)}^3}}}{3})$
${a^3} + {b^3} + {c^3} - {a^2}b - {b^2}c - {c^2}a = \dfrac{{(2a + b){{(a - b)}^2} + (2b + c){{(b - c)}^2} + (2c + a){{(a - c)}^2}}}{3}$
${a^4} + {b^4} + {c^4} - {a^3}b - {b^3}c - {c^3}a = \dfrac{{(3{a^2} + 2ab + {b^2}){{(a - b)}^2} + (3{b^2} + 2bc + {c^2}){{(b - c)}^2} + (3{c^2} + 2ac + {a^2}){{(a - c)}^2}}}{4}$
${a^3}b + {b^3}c + {c^3}a - a{b^3} - b{c^3} - {a^3}c = -(\dfrac{{a + b + c}}{3}\left( {{{(a - b)}^3} + {{(b - c)}^3} + {{(c - a)}^3}} \right))$
:)