Đến nội dung

Toanlc_gift

Toanlc_gift

Đăng ký: 05-01-2009
Offline Đăng nhập: 04-09-2021 - 17:17
****-

#223831 Một Phương pháp Phân tích bình phương SOS

Gửi bởi Toanlc_gift trong 27-12-2009 - 18:23

đến bây giờ mình mới tìm ra nhược điểm của cách phân tích này,
từ biểu thức ban đầu:
$S = {S_a}{(b - c)^2} + {S_b}{(a - c)^2} + {S_c}{(a - b)^2}$
khi bạn thay $a=b$
thì $S = (S_a^{'} + S_b^{'}){(a - c)^2}$
nếu như biểu thức ${S_a};{S_b}$ mà là biểu thức phức tạp (trong đó các biến a,b,c "phân bố" đều) thì lúc đó
${S_a} \ne S_a^{'};{S_b} \ne S_b^{'}$
cách phân tích này chỉ đúng nếu ${S_c}$ là biểu thức đối xứng với hai biến $a,b$,tương tự với ${S_a};{S_b}$
cách này rất hiệu quả đối với những bất đẳng thức ba biến đối xứng dạng đa thức,nhưng nếu là phân thức chắc chắn sẽ không đơn giản
có thể cho ví dụ như sau:
xét biểu thức:
$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} - \dfrac{3}{2}$
khi cho $a=b$
biểu thức trở thành:
$\dfrac{{{{(a - c)}^2}}}{{2a(a + c)}}$
đến đây rất khó có thể đoán được giá trị của ${S_b} + {S_a}$
và ta phải giải một bài toán khác phức tạp không kém:
$S_a^{'} + S_b^{'} = \dfrac{{{{(a - c)}^2}}}{{2a(a + c)}}$
trong đó:
$S_a^{'} = f(a;a;c)$
và $f(a;b;c) = {S_a}$
----------------------------------------
còn nếu như biểu thức cần phân tích là biểu thức hoán vị thì công việc này lại trở nên cực kì khó khăn,bạn thử phân tích bình phương cho biểu thức này dựa vào cách trên xem:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} - 3$
:geq
cách phân tích này vẫn phải dựa vào dự đoán là chính :)


#203688 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi Toanlc_gift trong 02-07-2009 - 18:14

bài 3 còn có thể đưa về SOS như sau:
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{{(2b + a)(b - a) + (2c + a)(c - a)}}{{2{a^2} + bc}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \sum {(a - b)\left( {\dfrac{{2b + a}}{{2{b^2} + ac}} - \dfrac{{2a + b}}{{2{a^2} + bc}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow 2\sum {{{(a - b)}^2}} \left( {\dfrac{{(a + b)(a + b - c)}}{{(2{b^2} + ac)(2{a^2} + bc)}}} \right) \ge 0$
đưa về cùng mẫu số và đánh giá các hệ số cũng khá đơn giản :(


#203685 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi Toanlc_gift trong 02-07-2009 - 17:48

Bài 3:
khai triển,bđt tương đương với:
$\sum {ab({a^4} + {b^4}) + 3\sum {{a^2}{b^2}} } ({a^2} + {b^2}) - 8\sum {{a^3}{b^3} + 5abc\sum {ab(a + b) - 2abc\sum {{a^3}} - 24{a^2}{b^2}{c^2}} } \ge 0$
đưa bđt cần chứng minh về dạng cơ sở SOS,trong đó:
${S_a} = bc({(b + c)^2} + 3bc - a(b + c) + 4{a^2})$
${S_b} = ac({(a + c)^2} + 3ac - b(a + c) + 4{b^2})$
${S_c} = ab({(a + b)^2} + 3ab - c(a + b) + 4{c^2})$
dễ thấy các hệ số
${S_a};{S_b};{S_c}$
đều ko âm
do đó ta cóa đpcm,đẳng thức xảy ra tại tâm và tại biên
bài 5:
$VT \le \sum {\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}} \le \sum {\dfrac{1}{a}} \le \sum {\dfrac{a}{{bc}}}$
còn bài nào nữa nhể?


#196676 Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ

Gửi bởi Toanlc_gift trong 02-05-2009 - 14:33

Còn rất nhiều nữa,ví dụ này:
${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a - a{b^2} - {b^2}c - {c^2}a = -(\dfrac{{{{(a - b)}^3} + {{(b - c)}^3} + {{(c - a)}^3}}}{3})$
${a^3} + {b^3} + {c^3} - {a^2}b - {b^2}c - {c^2}a = \dfrac{{(2a + b){{(a - b)}^2} + (2b + c){{(b - c)}^2} + (2c + a){{(a - c)}^2}}}{3}$
${a^4} + {b^4} + {c^4} - {a^3}b - {b^3}c - {c^3}a = \dfrac{{(3{a^2} + 2ab + {b^2}){{(a - b)}^2} + (3{b^2} + 2bc + {c^2}){{(b - c)}^2} + (3{c^2} + 2ac + {a^2}){{(a - c)}^2}}}{4}$
${a^3}b + {b^3}c + {c^3}a - a{b^3} - b{c^3} - {a^3}c = -(\dfrac{{a + b + c}}{3}\left( {{{(a - b)}^3} + {{(b - c)}^3} + {{(c - a)}^3}} \right))$
:)