Te.B

Thi HSG vòng I năm học 2008-2009

Thời gian làm bài 120'

Bài 1 (2 điểm)
Chứng minh rằng $ (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

Bài 2 (3 điểm)
a) Tổng các bình phương của hai số nguyên lẻ có thể là số chính phương hay không?
b) Chứng minh rằng nếu các số nguyên a và b thỏa mãn $ 2a^2+a = 3b^2+b$ thì $a-b$ và $2a+2b+1$ đồng thời là hai số chính phương.

Bài 3 (4 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ x^4+x^2+10 = y^2-y$
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số tự nhiên và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Bài 4 (4 điểm)
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$
a) Chứng minh $\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} < 4$
b) Tìm GTLN của $A = \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Bài 5 ( 5 điểm)
Một góc vuông xEy quay xung quanh đỉnh E của hình vuông EFGH. Cạnh Ex cắt các đường thẳng FG và GH lần lượt tại M và N. Cạnh Ey cắt các đường thẳng FG và GH lần lượt tại P và Q.
a) Cm ENP và EMQ là các tam giác vuông cân.
b) Biết QM cắt PN tại S. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng PN và QM. Tứ giác EKSI là hình gì?
c) Chứng minh đường thẳng IK cố định khi góc vuông xEy quay xung quanh điểm E.

Bài 6 (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu x,y,z là các nghiệm của hệ phương trình
$ x+y+z=5$
$ xy+yz+xz=7$
thì $ \dfrac{1}{3} \leq x,y,z \leq 3 $

Bài 7 (1 điểm)
Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ hai đỉnh A, D và tô xanh các đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh theo quy tắc sau: "Mỗi lần đổi màu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả ba đỉnh đó ( đỏ thành xanh, xanh thành đỏ)". Hỏi sau một số lần đổi màu các đỉnh theo quy tắc đó thì có thể thu được kết quả là đỉnh C màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại màu xanh được ko?

9. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng

$a+b+c \ge\dfrac{1}{a}(2-c)+\dfrac{1}{b}(2-a) +\dfrac{1}{c}(2-b)$

Em chém bài 9 ( dễ nhất)
Do a,b,c là các số nguyên dương và $ abc=1 $ nên $ \Rightarrow a = \dfrac{1}{bc} \Rightarrow \dfrac{1}{a}=bc $
Tương tự ta cũng có $ \dfrac{1}{b}=ac; \dfrac{1}{c}=ab $
Do đó bdt phải chứng minh tương đương:
$ a+b+c \geq bc(2-c) +ac(2-a)+ ab(2-b)
\Leftrightarrow a+b+c \geq 2bc - b{c}^{2} + 2ac - {a}^{2}c + 2ab - a{b}^{2}
\Leftrightarrow a({b}^{2}-2b+1) + b({c}^{2}-2c+1) + c({a}^{2}-2a+1) \geq 0
\Leftrightarrow a{(b-1)}^{2}+b{(c-1)}^{2}+c{(a-1)}^{2} \geq 0 $ (luôn đúng với mọi a,b,c thỏa mãn giả thiết)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1